Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

2.2 Système lentement dépendant de temps avec une dimension

Dans ce chapitre, nous examinons l'effet du bruit sur une classe particulière de systèmes singulièrement perturbés, en utilisant des équations à savoir lentement en fonction du temps avec une dimension

2.3 Branches d'équilibre stables

Nous considérons dans cette section le système de la forme

1 ó

dxt = f(xt, t)dt + _p F(xt, t)dWt

~ (~)

dans le cas où f admet une branche d'équilibre asymptotiquement stable x^*(t). Ceci équivaut à supposer que le potentiel U(x, t) est strictement minimum locale en tout temps t. Plus précisément, nous aurons besoin de ce qui suit

2.3.1 Hypothèse (cas stable)

domaine et différentiabilité : f E C²(D, R) et F E C²(D, R) où D est un domaine de la forme D = {(x,t) : t E Id1(t) < x < d2(t)} ou interval I = [0,t]

et deux fonctions continues d1(t),d2(t) tel que d2(t) - d1(t) est positif et borné loin de 0 E I Nous supposons en outre que f,F et tous leurs dérivées partielles jusqu'à ordre 2 respectivement 1, sont uniformément bornée dans D par un M. constant

-

2.3 Branches d'équilibre stables 32

branche d'équilibre : Il existe une fonction continue x^* : I ? IR et une partie constante d > 0 tel que d1(t) + d < x^*(t) < d2(t) - d}, et

f(x^*(t), t) = 0 ?t ? I

- La stabilité : Soit a^* = ?_xf(x^*(t), t) il existe une constante a^*₀ > 0 tel que a^*(t) = -a^*₀ ?t ? I

- Non-dégénérescence du terme de bruit : il y a une constante F_ > 0 tel que F(x, t) = F_ ?(x,t) ? D

Depuis la variété lente du système déterministe

M = {(x,t) : x = x^*(t),t ? I}

est un uniforme asymptotiquement stable d'aprais le théoreme[Fenichels] implique l'existence d'une variété invariable M_E à une distance de l'ordre E de M

x^*(t)

x(t, ~) = x^*(t) + ~a*(t) + O(E²)

Notre objectif principal sera de caractériser la déviation ît entre xt et le trajectoire invariant x(y(t), E) tel que

ît = xt -x(yt,å)

d = 1 [f (x(t, E) + (t), t) -- f (x(t, E), t)]dt + E

t F(x(t, E) + 6, t)dWt

1 = E [a(t, 6)ît + b(ît, t, E)]dt + ^ó_vE[F0(t, E) + F1(ît, t, E)]dWt

ou

a(t, E) = ?_xf(x(t, E)) = a^*(t) + O(E)

F0(t, E) = F(x(t, E), t)

On notera que -a(t) est la courbure du potentiel et -a(t, E) est la courbure a la solution adiabatique.

Les restes satisfont |b(y, t, E)| < M|y|² et |F1(yt, t, E)| < M|y| pour tout y suffisamment petit

2.3 Branches d'équilibre stables 33

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 34

2.4 Équation déterministe de FitzHugh-Nagumo 35

2.3.2 Cas linéaire

Dans cette section, nous étudions le l'EDS linéaire non autonome dy⁰_t = 1 a(t)y⁰_tdt + ó F0(t)dWt

_v

_E

E

avec l'état initial y0 = 0 où l'on suppose que a et F0 sont des fonctions continues et differentiable dans IR avec F0(t) minorée par F0 > 0 et a(t) majorée par -a0 < 0.

Sa solution et un processus gaussien et peut être representée par les intégrales d'Itô

ó ft y 0-- J ^t/c 0

e^a(t,s)/^EF0(s)dWs

avec a(t, s) = f t a(u)(la courbure cumulée entre les instants s et t), y⁰_t est caractèrisée par sa valeur moyenne égale à zéro et sa variance donnée par

~2 t

var(y⁰_t) = f e^2a(t,s)/^Eds. (2.3)
E 0

La varaince peut être calculée. En principe, on évalue deux integrales. Cependant, l'expression (2.3) n'est pas facile à manipuler. Une autre expression se

trouve en notant que var(y⁰_t ) = ó²v(t) où v(t) est une solution de l'équation différentielle ordinaire

Ev^. = 2a(t)v + F0(t)² (2.4)

avec une condition initiale v(0) = 0.

Le côté droit de (2.4) disparait sur la variété lente de léquation

F0(t)²

v(t) = v^*(t) = (2.5)
2|a(t)|

ce qui est uniformément asymptotiquement stable

Nous conclurons donc par le théoréme de Tikhonov que (2.11) admet une solution particulière de la forme

F0(t)²

î(t) = + O(E)
2|a(t)|

Remarque, en particulier que pour E suffisamment petit, il existe des constantes î+ > î_ > 0 telles que

î_ < î(t) < î+.

La relation entre î(t) et la variance de y⁰_t est donnée par

var(y⁰_t ) = ó²v(t) = ó²[î(t) - î(0)e^2a(t)/^E]

F0(t)²

où î(0) = + O(E) et a(t) = a(t, 0) < -a0 Vt > 0.

2|a(t)| --

Ainsi la variance s'approche de ó²î(t) exponentiellement rapide.

Notre objectif est de montrer que les trajectoires de y⁰_t sont concentrées dans des ensembles de la forme

_1/

B(h) = {(y, t), t E I, |y| < h î(t).

Chaque fois que nous choisissons h > ó en tout instant t E I fixé, la probabilité que (y⁰_t , t) ne fait pas partie de B(h) peut être exprimée en termes de distribution de fonction de la loi normale ö(x) = (2ð)_¹/² f _{x_~} e_u2/2du

P{(y^0t , t) E B(h)} = 2ö(

-h (t)) < 2ö(^-^h) < e_h2/2ó2 ó v(t) ó