Memoire Online - Le sens de la numération décimale à travers le groupement par 10.

Lors de la première séance, dix-sept élèves étaient présents. Une grille d'observation pour relever les différentes procédures des élèves a été utilisée. Il a été précisé aux élèves de faire comme ils souhaitaient pour dénombrer, y compris utiliser son crayon ; la procédure dite « sans trace » est celle dans laquelle les élèves n'ont laissé aucun trait de crayon ou aucune trace écrite :

Procédures de dénombrement	Nombre d'élèves
Barrer les billes / mettre un point	13
Faire des paquets	0
Dénombrer sans trace	3
Autres procédures	1

L'élève ayant utilisé une autre procédure a écrit la comptine numérique dans chaque bille. Sa procédure était incorrecte à chaque fois du fait qu'il ait oublié une bille, ou que la comptine n'était pas correcte.

j'appellerai ci-dessous exercice 1), il y avait 28 billes au total. Dans le deuxième dénombrement (exercice 2), il y en avait 22 et dans le troisième (exercice 3), 36.

	Exercice 1	Exercice 2	Exercice 3
Dénombrement total de billes correct	9	10	4
Dénombrement total de billes incorrect	8	7	13

On remarque que les résultats corrects du dénombrement de billes sont en corrélation avec le nombre de billes à dénombrer ; plus les nombres sont grands, plus les élèves ont des difficultés à dénombrer. A ce niveau, les élèves devaient avoir connaissance de la comptine numérique jusqu'à 100, mais certains devaient avoir des lacunes.

C'est parmi tous les dénombrements corrects que nous allons voir les procédures utilisées par les élèves :

	Exercice 1	Exercice 2	Exercice 3
Procédure : barrer/pointer	9/9	9 /10	4/4
Procédure sans trace	0/9	1/10	0/4
Autres procédures	0/9	0/10	0/4

On remarque clairement que les élèves ayant dénombré correctement sont ceux ayant barrer ou pointer les billes. On peut imaginer que la procédure la plus experte est bien de les barrer ou de les pointer afin de laisser une trace qui rend compte des éléments déjà dénombrés.

Sur les bonnes réponses, seulement trois élèves ont correctement écrit le nombre de dizaines et d'unités en fonction de leurs réponses trouvées ; en effet, même si leurs dénombrements de billes au total n'étaient pas corrects pour les trois exercices, ils correspondent quand même à l'écriture du nombre sous la forme dizaines et unités.

C'est à lors que l'on peut s'apercevoir que les élèves de cette classe n'ont que très peu de connaissances par rapport aux groupements décimaux.

Lors de la situation du Grand Ziglotron, dix-neuf élèves étaient présents et dispersés en neuf groupes. Cette séance était la présentation de la situation et ne révèle pas vraiment d'éléments indispensables à l'appropriation de l'apprentissage du nombre puisqu'il s'agissait de dénombrer et de coller. Nous pouvons tout de même nous intéresser aux élèves ayant réussi ou échoué :

6 5 4 3 2 1 0

Nombre de groupes

Elèves qui avaient trop de boutons

Eleves qui n'avaient pas assez de boutons

Lors de cette séance, les procédures les plus utilisées par les élèves ont été de dénombrer terme à terme en recomptant plusieurs fois puisqu'ils étaient par binômes. Les élèves qui ont échoué n'ont pas tenu compte du fait qu'il fallait demander un nombre de boutons exact : ni trop, ni pas assez. C'est pour cela que certains ont redemandé des boutons (chose qui n'a pas été possible) et d'autres en avaient trop.

Il est important de préciser que lors de cette séance, les trois marchands désignés ont réalisé l'activité quand tous les groupes avaient leurs commandes et je jouais le rôle de la marchande.

Cette séance d'appropriation de l'activité a été correcte dans le sens ou beaucoup d'erreurs vis-à-vis des consignes ont été commises ; c'est à ce moment là que les élèves ont pu se rendre compte des différentes règles à respecter et qui serviront lors de la séance suivante.

Cette séance sera analysée en deux parties : tout d'abord la situation du Grand Ziglotron, puis l'exercice sur ardoise. Il est également important de préciser qu'un rappel de la séance précédente a été fait en début de séance.

Dans cette situation, nous ne nous intéresserons évidemment pas au nombre de boutons dénombré par les élèves (correct ou non), mais au lien qu'ils font entre les deux écritures des nombres. En effet, ayant rempli le bon de commande (à cause des contraintes), les élèves devaient donc donner le nombre de boutons total, le nombre de paquets de dix boutons et le nombre de boutons isolés.

Parmi les huit groupes d'élèves présents ce-jour là, nous allons voir combien d'entre eux ont réussi ou échoué lorsqu'ils ont du écrire le nombre de paquets de dix et de boutons, si ces nombres ont un lien avec le nombre total de boutons, mais aussi les procédures qu'ils ont utilisé.

Les nombres de boutons à dénombrer étaient différents selon trois documents : 28, 34 ou 45 boutons.

- Un groupe n'a rien écrit dans les catégories « paquets de dix boutons » et « boutons ».

- Un groupe a écrit le même nombre pour chaque catégories (41 boutons, 41 paquets de dix boutons, 41 boutons.).

Ces deux groupes ont probablement manqué de connaissances par rapport aux paquets de dix boutons et de boutons seuls et se sont retrouvés en difficultés lors de l'exercice. Les contraintes ont également été un obstacle pour eux.

- Un groupe a utilisé les mêmes chiffres que celui du nombre de boutons total mais dans le mauvais ordre : « Il y a 35 boutons. 5 paquets de dix boutons, 3 boutons. ». Les élèves de ce groupe se sont sûrement rappelé du fait qu'il

s'agissait des mêmes chiffres mais n'ont pas intégré le sens. Ces élèves n'ont pas utilisé de stratégie de groupement.

- Deux groupes d'élèves ont groupé par dix boutons sur leurs Ziglotrons mais n'ont pas su correctement dénombrer par la suite (exemples : « Il y a 32 boutons, 3 paquets de dix boutons, 3 boutons », « Il y a 28 boutons, 2 paquets de dix boutons et 7 boutons ».). Ici, les élèves ont utilisé une méthode intéressante qui est celle de grouper par dix mais leurs résultats ne coïncident pas, puisque leurs dénombrements de paquets de boutons et de boutons n'étaient pas corrects. Ceci est probablement dû au fait qu'ils n'ont pas fait de lien entre les deux écritures.

- Enfin, trois groupes d'élèves ont entouré des paquets de dix sur leurs Ziglotrons et ont correctement dénombré. En effet, ils ont noté le bon nombre de paquets de dix boutons et le bon nombre de boutons sauf qu'ils ne sont pas en lien avec le nombre de boutons total dénombré au départ (Exemple : le nombre de boutons total à dénombrer est 37 ; sur le bon de commande il sera écrit 39 boutons ; 3 paquets de dix boutons, 7 boutons). C'est en formant des groupements de dix que les élèves ont su correctement donner les nombres de paquets de dix et de boutons.

Sur ces huit groupes, cinq groupes d'élèves ont groupé par dix. Ceci a été amené au fur et à mesure de la séance par un travail oral avec les élèves dans lequel ils devaient trouver des stratégies efficaces pour répondre à l'exercice. Des aides ont été apportées au cours de la séance puisque les élèves se sont retrouvés bloqués à cause de la contrainte du marchand qui ne pouvait pas donner plus de 9 boutons isolés. Une mise en commun a été faite en demandant aux élèves comment ils pourraient compter les paquets de dix. Les élèves ont su dire qu'il fallait faire des paquets de dix. Cela leur a permis de continuer l'activité sans difficulté supplémentaire.

Dans cet exercice, les contraintes ont posé énormément de problèmes pour les élèves. Le fait de ne pas pouvoir demandé un nombre supérieur à 9 boutons isolés les a mis en difficulté dès le départ. Sans une mise en commun sur la stratégie efficace du groupement par dix, les élèves se seraient retrouvés bloqués.

Après avoir explicité les différentes stratégies utilisées par les élèves lors de la situation du Grand Ziglotron, nous avons commencé l'exercice sur l'ardoise.

- quatre pour le nombre de paquets de dix et de boutons lorsqu'on leur donne un nombre de boutons total

Il a été dit aux élèves que paquets de dix s'écrivaient « P » sur l'ardoise et boutons « B ».

Lors du premier calcul, certains élèves ont formé des paquets de dix avec leurs dix doigts ; par exemple, lorsqu'il était demandé « 34 », les élèves tendaient trois fois leurs dix doigts et finissaient par montrer 4 avec une main. Cette stratégie a été reprise en mise en commun directe pour faciliter le travail des élèves. En revanche, on comptait de dix en dix en même temps que l'on montrait nos dix doigts, pour que les élèves l'intègrent aussi autrement par le visuel.

La majorité des réponses des élèves ont été bonnes durant tout l'exercice. Seulement quelques élèves en difficultés écrivaient des réponses erronées sur leurs ardoises (exemples : 34 = 4P 3B ; 34P ; 34 B).

L'exercice a bien fonctionné dans la mesure ou seulement deux élèves avaient des difficultés qui se sont estompées au fur et à mesure des mises en commun.

C'est à lors que les notions de « dizaines » et « unités » ont été explicitées.

La séance 4 est une institutionnalisation du sens de la numération grâce à la situation du Grand Ziglotron. En effet, les élèves n'ayant qu'à remplir le bon de commande se sont retrouvé directement face au sens de l'écriture sous forme dizaine et unité d'un nombre.

Le nombre donné sur le bon de commande était de 42 boutons. Les élèves devaient donc compléter avec 4 plaques de dix boutons et 2 unités.

Sur 19 élèves, 18 ont répondu correctement à cet exercice. Seul un élève a répondu « 24 paquets de dix boutons, 14 boutons ».

Les élèves ont très rapidement su répondre à l'exercice ; en sept minutes tous les élèves avaient terminé.

Seul un élève s'est servi de la feuille de brouillon pour y noter : « 10 20 30 40 42 ».

Ces résultats amènent à penser que les élèves commencent à comprendre le sens de la numération puisque, sans matériel, ils ont presque tous répondu correctement. Nous pouvons aussi penser que c'est grâce à la situation qui commence à être habituelle que les élèves ont pu répondre correctement. A ce moment de l'expérimentation, nous ne pouvons pas donner de conclusion.

Ce jour-ci, nous avons fait 14 calculs. En effet, comme la première situation a été très rapide, nous avons eu le temps de faire sept nombres à transformer en écriture dizaines et unités et sept nombres écrits sous forme « dizaine, unité » à reconstituer.

Les élèves ne devaient plus écrire « P » pour paquets de dix mais « d » pour dizaines et « u » pour unités à la place de « B » pour boutons.

Les nombres ont été choisis de façon à ce que le nombre des dizaines ne soit jamais le même que celui des unités. Ce choix a été fait pour complexifier la tâche et pour identifier où apparaitraient les différentes erreurs des élèves.

	20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Nombre d'élèves				FAUX BON

Voici un histogramme permettant de relever les réponses des élèves au fur et à mesure des calculs. Les nombres demandés sont en abscisse.

On remarque très nettement que la majorité des élèves ont de bonnes réponses lorsqu'il s'agit de donner le nombre de dizaines et d'unités. Les quelques mauvaises erreurs sont faites par des élèves en difficulté ou sont des erreurs d'inattention des chiffres (exemple : 24 = 24d 0u). Ces erreurs ne sont pas analysées car on a pu remarqué qu'elles variaient avec les élèves, c'est-à-dire que ce n'était pas toujours les mêmes élèves qui faisaient des erreurs de sens, mais différents élèves qui faisaient des erreurs de confusion. Nous pouvons penser que les erreurs, plus nombreuses, lors du nombre 73, ont été causées par le fait que 73 est un grand nombre dont la sonorité se rapproche de 60 et de 13, ce qui a porté a confusion chez les élèves.

On remarque que, demandés sous la forme dizaines et unités, les calculs sont plus réussis par les élèves. En effet, ils entendent et voient mentalement les chiffres demandés de façon directe. Ils peuvent alors reconstituer le nombre de façon plus simple que lors de calculs inverses.

Les trois erreurs faites par les élèves lors du nombre « 9d 0u » ont été dues au fait que les élèves ne savaient pas comment écrire ce nombre. Le zéro a porté a

confusion et il serait intéressant de réutiliser les nombres « ronds » afin de palier aux difficultés.

Globalement, nous pouvons remarquer que cette séance représente un tournant dans l'apprentissage de la numération par les élèves puisque c'est à partir de là qu'ils commencent à y mettre du sens grâce à des exercices d'entraînement répétitif et un travail à l'oral très présent.

La séance 5 reprend l'évaluation de la première séance. C'est grâce à celle-ci que nous allons pouvoir repérer les évolutions ou les lacunes persistantes des élèves.

Nous allons donc reprendre les mêmes données que lors de la première séance :

Procédures de dénombrement	Nombre d'élèves
Barrer les billes / mettre un point	6
Faire des paquets	10
Dénombrer sans trace	0
Autres procédures	0

On remarque que la majorité des élèves ont utilisé le groupement. En effet, les groupements comportent dix billes à chaque fois. Les élèves ont alors institutionnalisé le fait que pour dénombrer plus facilement et de manière plus stratégique, il était intéressant de créer des groupements de dix.

Reprenons désormais le tableau permettant de vérifier l'échec ou la réussite des élèves selon les trois exercices :

	Exercice 1	Exercice 2	Exercice 3
Dénombrement total de billes correct	8	13	9

Dénombrement total de
	8	3	7
billes incorrect

Grâce à ces résultats, nous pouvons voir qu'une majorité des élèves ont répondu correctement lors du dénombrement de billes total pour les exercices 2 et 3 et que la moitié de ceux-ci ont répondu correctement pour le premier exercice. Ceci démontre que grâce aux groupements, les élèves ont éprouvé moins de difficultés à dénombrer et que, même s'ils n'ont pas groupé, ils obtiennent des résultats corrects dans la plupart des cas. Ceci est peut être également dû au fait que les exercices ont été refaits à plusieurs reprises et que les élèves n'avaient pas la contrainte de la compréhension pour réussir.

Nous allons maintenant voir quelles procédures ont été les plus expertes dans la résolution de ces exercices, parmi les résultats corrects :

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Procédure :
barrer/pointer

4/8

5/13

5/9

Faire des

groupements de dix

4/8

8/13

4/9

Les résultats restent très mitigés ; il est vrai qu'entre les élèves ayant barrer ou pointer et les élèves ayant dénombré, il n'y a pas de différences notables (sauf pour l'exercice 2 où la procédure de groupement est privilégiée).

Intéressons-nous maintenant à la partie la plus intéressante qui est de savoir si les élèves ont correctement donné l'écriture du nombre sous la forme de dizaines et d'unités. Nous relèverons les écritures correctes pour les dénombrements de billes au total qui sont bons, mais également, pour ceux qui sont faux, puisqu'ils peuvent coïncider (exemple : si l'élève a dénombrer un nombre faux de billes au total mais que l'écriture du nombre sous la forme dizaines et unités est en adéquation avec le nombre de départ, le résultat est considéré comme bon).

	Exercice 1	Exercice 2	Exercice 3
Ecriture des dizaines et unités correcte	10	11	8
Ecriture des dizaines et unités incorrecte	6	5	8

Il est indispensable de rappeler que lors de la première évaluation, seuls trois élèves avaient donné des écritures correctes au moment de donner les dizaines et les unités.

Lors de cette évaluation, même si les élèves n'ont pas tous correctement dénombrer les billes, ils ont quand même, pour la majorité des cas, trouvé des réponses justes en ce qui concerne l'écriture sous la forme dizaines et unités. Ils ont fait le lien entre les deux écritures et ont nettement progressé par rapport aux connaissances de départ.

Le sens de la numération décimale à travers le groupement par 10.

II. Analyse a posteriori