Avant-propos
L
'idée fondamentale derrière la méthode
des éléments finis remonte loin en arrière. Les Grecs par
exemple avaient reconnu que l'on peut approcher la solution d'un
problème complexe en le divisant en problèmes plus simples. On
peut par exemple approcher le périmètre d'un cercle en calculant
le périmètre d'un polygone à n
côtés, pourvu que n soit suffisamment grand. Il
suffit alors de connaitre la longueur d'un segment de droite, problème
beaucoup plus simple que celui de la longueur d'un arc de cercle.
Le présent travail se veut être une base solide
de restitution de connaissances techniques et pratiques indispensables à
la construction d'un modèle élément fini, en vue d'une
simulation numérique.
Nous poursuivrons ainsi deux objectifs. Bien sûr, nous
souhaitons une description relativement classique des principales étapes
de mise en oeuvre de la méthode sur un ordinateur et passer directement
à une illustration à travers notre étude de cas, mais
notre objectif est d'en dégager aussi les bases mathématiques les
plus fondamentales.
On peut se demander s'il y a vraiment besoin de s'attarder
autant sur les aspects plus mathématiques. La réponse nous est
apparue de plus en plus évidente au vu des applications énormes
de cette méthode en ingénierie et des contraintes de
sécurité de plus en plus sévères qui entrent en jeu
de compte.
Les logiciels modernes utilisant la méthode des
éléments finis bénéficient d'une interface
graphique rendant leur utilisation relativement simple. Par ailleurs, un
certain nombre de tâches sont automatisables. On peut donc quasiment
lancer un calcul sur ordinateur sans connaître la méthode.
Cependant, le modèle utilisé risque d'être
inadapté au problème, on aura donc un résultat très
éloigné de la réalité. L'utilisateur doit avoir des
connaissances suffisantes pour être en mesure de :
? maîtriser le modèle, c'est-à-dire utiliser
les options permettant de représenter le plus fidèlement possible
la réalité ;
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Avant-propos
· contrôler la qualité du résultat,
détecter les résultats manifestement erronés et juger de
la fiabilité des calculs qui leur sont présentés ;
· interpréter les résultats, et
éventuellement les post-traités, c'est-à-dire utiliser les
résultats pour faire d'autres calculs.
L'utilisation d'un logiciel de résolution par la
méthode des éléments finis est donc faussement simple, ce
qui n'est pas sans poser problème :
Car la manipulation de plus en plus fréquente de ce
genre de technologie par des personnels non spécialistes ou
inadéquatement formés commence à être une source
d'inquiétude très sérieuse, compte tenu des enjeux de
sécurité sous-jacents. De manière générale,
utiliser un logiciel quelconque pour résoudre un problème
d'ingénierie sans en comprendre le fonctionnement est très
dangereux.
Le 1er chapitre est consacré à la
résolution théorique par l'approche variationnelle du
système d'équations de lamé qui est un cas particulier des
équations stationnaires, de l'élasticité linéaire,
modélisant les déformations d'un solide sous l'hypothèse
de petites déformations et de petits déplacements. Nous
illustrons ainsi l'une des méthodes étant à la base des
bases de la méthode des éléments finis.
Le 2ème chapitre est dédié
à l'étude des principes de bases de modélisation par
éléments finis ; il fait notamment ressortir les notions de :
· discrétisation d'un domaine en
éléments de formes connues ;
· matrice des fonctions d'interpolations ;
· matrice de rigidité élémentaire ;
· assemblage des matrices élémentaires.
Le 3ème chapitre aborde l'étude des
propriétés de quelques éléments finis, il s'est
achevé par l'élaboration d'un programme de calcul de la matrice
de rigidité élémentaire pour l'élément fini
tétraédrique à 12 DDL. Ce programme, loin d'être un
programme de résolution complet, est destiné principalement
à être utilisé en tant que routine (sous-programme), dans
un programme global de résolution de modèles
éléments finis.
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Avant-propos
Le 4ème chapitre étudie un cas
pratique de simulation numérique effectué sur un tablier de
pont.
Nous insistons notamment sur le fait que notre travail
ne consiste pas en une étude technique détaillée du pont,
mais à construire un modèle numérique,
élément fini, du tablier et à effectuer une simulation
numérique sur ce modèle.
Le modèle élément fini, ainsi construit,
fait alors office de maquette numérique sur laquelle on observera
l'influence, en temps réel, des différentes actions agissant sur
la structure.
Le travail consistera, en tenant compte de plusieurs essais de
cas de charges, à définir les cas produisant les effets les plus
défavorables et à partir de ces considérations pour
proposer un dimensionnement des éléments du tablier.
Aussi, le présent travail a permis d'expliquer en
détail la manière dont le logiciel Autodesk ROBOT SAP
2012 doit être utilisé pour conduire des essais de
simulation numérique.
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