Eléments d'une philosophie de l'espace chez Ernest Cassirer

II.2.3.2. L'avènement des espaces non-euclidiens

A un moment donné de l'histoire des mathématiques, il était difficile que certaines propriétés ou vérités de la géométrie d'Euclide soient acceptées et devenaient de plus en plus caduques. Cet espace était contesté et ne révélait plus le caractère d'être vrai et évident. Parmi les vérités dénutées par les géométries non euclidiennes, figurent le 5^e postulat des Éléments.

II.2.3.2.1. Gauss, prince des mathématiciens61(*)

Gauss est à classer parmi les mathématiciens les plus honorés de l'histoire de ces sciences : à coté d'Archimède et de newton, on place Gauss. Les premiers travaux de ce mathématicien, s'évertuaient dans l'arithmétique avec son célèbre théorème du binôme. Du point de vue constructif, Gauss a été un révolutionnaire. Avant la fin des études, le même critique le poussa à se déclarer peu satisfait du théorème du binôme et l'incita à examiner les démonstrations de la géométrie élémentaire. Il avait perçu une première lueur d'une autre géométrie que celle d'Euclide. Il se considérait comme le premier à avoir remit en question le dogme de la vérité absolue et de l'unité de la géométrie euclidienne. Il était physicien, astronome et mathématicien le plus célèbre du XIX^e siècle. Cassirer nous dit que, Gauss ne publia rien à sa nouvelle découverte, craignait, disait-il « les hurlements des béotiens »^62(*).

En plus, s'il faut constituer la marche des idées de Gauss au sujet de la nouvelle géométrie, c'est la mesure de la terre (la géodésie) qui a joué un rôle important. C'est vers 1820, que le gouvernement de Hanovre demanda à Gauss de diriger un relevé géodésique sur l'ensemble de royaume. Il s'acquitta de cette tâche avec perfection et ingéniosité. Dans cette perspective et selon Gauss, quant on pense à la surface de la terre, on la représente comme la surface d'une sphère plongée dans l'espace. C'est pourquoi, ces relevés consistaient, schématiquement, à repérer les points remarquables du terrain, à leur attribuer des coordonnées (par un procédé plus ou moins conventionnel) et à mesurer les distances entre ces points.

C'est à partir de cette idée que Gauss découvrit la première géométrie non euclidienne ou comme il l'appelait « anti-euclidienne ».^63(*) Il appert que, comment faire de la géométrie en restant sur la surface d'une sphère ? Peut-on par exemple définir une droite tracée sur cette surface ? La surface de la sphère est courbe, donc visiblement on ne peut pas y tracer de droite.

Fig.₃^64(*)

Au fait, la géométrie inaugurée par Gauss était hyperbolique que sphérique. Car, par un point A il y a plusieurs parallèles à une droite D et non zéro comme sur une sphère. Toutes les droites situées à l'intérieur de l'angle hachuré  (cfr fig.4) :

A

(D)

Fig.₄^65(*)

Plutard, Lobatchevsky et Bolyai, découvrent aussi la géométrie hyperbolique.

* ⁶¹ C'est un terme emprunté chez Eric-Temple BELL, dans son ouvrage Les grands mathématiciens, Paris,

Payot, p.239.

* ⁶² E.CASSIRER, Le problème de la connaissance, t₄, p.31.

* ⁶³ F.LURÇAT, L'autorité de la science, Paris, cerf, 1995, p.149.

* ⁶⁴ Cette figure prouve que nous ne pouvons pas tracer une droite dans une surface sphérique car la surface est

courbe.

* ⁶⁵ Par un point A il y a plusieurs parallèles à une droite D et non zéro comme sur une sphère.