Eléments d'une philosophie de l'espace chez Ernest Cassirer

II.2.3. L'espace théorique des sciences mathématiques

Il faut rappeler que l'espace théorique est celui qui correspond aux nécessités scientifiques plus dans les sciences mathématiques. La question de l'espace, de sa nature et de ses propriétés, n'a pas nécessairement toujours été réfléchie par la philosophie ou la cosmologie. C'est d'ailleurs la géométrie qui est la science de l'espace. Dans l'histoire de l'espace géométrique, c'est Euclide qui forgea le premier une géométrie avec ses célèbres axiomes et par après il eut une explosion des espaces non euclidiens.

II.2.3.1. L'espace Euclidien

Euclide a enseigné à Alexandrie sous le règne de Ptolémée I^er (306-283) et qu'il y fonda la plus célèbre école de mathématique de l'antiquité. Il est le premier à avoir systématisé la géométrie. C'est ainsi que la géométrie euclidienne désigne l'homme ou encore l'école qui a fait la première synthèse des résultats des expériences acquises sur les figures spatiales. Rappelons que les égyptiens, en arpentant leurs champs recouverts tous les ans par le Nil en crue, et en construisant leurs monuments (pyramides) avaient accumulé des connaissances géométriques (cfr la mesure de grandeur, la mesure des agraires...). De leur coté, les grecs avec leur esprit spéculatif, systématisèrent ces connaissances et y introduisirent la méthode déductive, la démonstration. Ainsi, tous ces acquis ont été systématisés par Euclide.

En effet, la géométrie euclidienne est donc remarquable par son contenu et par sa forme. Par son contenu, c'est-à-dire, comme ensemble de propriétés géométriques de l'espace à trois dimensions et du plan à deux dimensions. Elle est restée utile et importante aujourd'hui encore, en théorie et dans des nombreux domaines de la vie pratique. Par sa forme, c'est-à-dire comme étalon d'un certain type de rigueur, elle a joué un rôle considérable dans le développement des sciences mathématiques.

En plus, c'est dans les Eléments que nous retrouvons le condensé de la géométrie euclidienne. Les livres, I, II, III, IV des Eléments traitent les théories de la géométrie plane. Ces quatre livres sont d'inspiration Pythagoricienne. Dans le premier, livre, il traite la question des triangles, des droites parallèles, les aires des parallélogrammes et les triangles. Il s'ensuit que, l'espace euclidien contient une étude détaillée des figures portées par une droite, par un plan. Dans son étude, disons qu'Euclide a fait la distinction entre un axiome et un postulat. Ainsi, un axiome, est une proposition nécessaire et indémontrable mais évidente. Par exemple : des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles. Tandis que, un postulat, est une proposition qui n'est ni évidente ni démontrable mais que l'on demande d'accepter car ces propositions sont indispensables à la démonstration.

Citons quelques uns des axiomes d'Euclide :

1. Par deux points ne peut passer qu'une droite ;

2. La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre ;

3. Par un point on ne peut faire passer qu'une parallèle à une droite donnée.

D' A

Fig.₂^60(*)

D

Comme on le voit, depuis toujours, on a cherché à démontrer ce troisième axiome du cinquième postulat du livre d'Euclide, qu'on appelait communément Postulatum d'Euclide. Mais les efforts ne tenaient pas, parce que, la seule géométrie était celle d'Euclide. À cette l'époque, on ne jurait qu'on nom d'Euclide, si l'on veut aborder le problème de la géométrique. Petit à petit, la lumière couvrait l'obscurité de l'axiome d'Euclide, ce que nous appelons l'avènement des géométries non euclidiennes.

* ⁶⁰ Par un point on ne peut faire passer qu'une parallèle à une droite donnée.