Eléments d'une philosophie de l'espace chez Ernest Cassirer

II.2.3.2.2. Lobatchevsky, le Copernic de la géométrie66(*)

C'est Nicolas Lobatchevsky qui a eu le mérite de continuer et de publier les idées que Gauss avait peur de rendre publique. On dit qu'il a opéré une révolution dans le monde de la géométrie. Pour que nous puissions bien examiner l'oeuvre de Lobatchevsky, rappelons d'abord de ce que nous avons dit de la géométrie d'Euclide. C'est l'axiome de d'Euclide appelé Postulatum qui s'est vu modifié par Lobatchevsky. Si par un point situé dans un plan, on ne peut mener qu'une seule parallèle, selon l'esprit d'Euclide, Lobatchevsky quant à lui, a révolutionné en affirmant que : « l'on peut par un point situé dans un plan mener plusieurs parallèles à une droite donnée ».^67(*)

Comme on peut le constater, Lobatchevsky a conservé tous axiomes d'Euclide sauf le troisième. Ainsi, il fallait beaucoup d'années pour que Lobatchevsky expulse de la géométrie ces vérités éternelles (géométrie d'Euclide). Dans sa géométrie hyperbolique, aucune des droites parallèles ne se rencontrent à la droite qui est parallèle à elle. Il est de même que, toute ligne droite passant par le point fixe et située à l'intérieur de l'angle fermé par les deux parallèles.

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fig.₅^68(*)

Au début, quand Lobatchevsky avait conçu sa géométrie, il l'appela  « géométrie imaginaire ». ^69(*) Par la suite, il avait abandonné cette nomination parce qu'il craignait l'inconvénient qu'elle représentait aux yeux des philosophes. Ceux-ci la considéraient comme étant un domaine qui émane des fictions. Apres lui, János Bolyai avait continué l'oeuvre.

II.2.3.2.3. János BOLYAI : la géométrie absolue

János Bolyai avait suivi à l'oeuvre les études de Gauss et de Lobatchevsky. Déjà en 1823, il avait annonçait à son père Farkas Bolyai qu'il aurait conçu une nouvelle théorie des parallèles. Apres l'avoir mise au point, il la publia dans son «  Appendix scientiam spatu absolute veram exihibens » ^70(*) à un manuel de son père. Bien qu'il soit original, sa géométrie absolue présentait des points communs avec la géométrie hyperbolique de Lobatchevsky et de Gauss. D'ailleurs, son père envoya ce travail à Gauss, qui en reconnut l'intérêt mais signala qu'il avait rencontré ces mêmes idées depuis longtemps. C'est ainsi, cette déclaration de priorité va décourager Bolyai qui avait renoncé à toute publication concernant la géométrie. Voyons comment Riemann a dépassé tous ces géomètres.

* ⁶⁶ C'est un terme emprunté chez Eric-Temple BELL, O.c., p.320.

* ⁶⁷ H.POINCARE, Science et hypothèse, Paris, Flammarion, 1968, p.64.

* ⁶⁸ L'on peut par un point situé dans un plan mener plusieurs parallèles à une droite donnée

* ⁶⁹ L.BRUNSCHVICG, Les étapes de la philosophie mathématique, Paris, P.U.F, 1947, p.318.

* ⁷⁰ Cité par R. TATON, dans la science contemporaine.1.le XIXème siècle, Paris, P.U.F, 1995, p.28.