3 Structure de la population de l'assureur
La population assurée est différente de la
population générale, de par sa structure, son étendue, ou
bien de par les choix des différents acteurs que sont l'assureur qui
accepte ou non la souscription et l'assuré qui sélectionne le
type d'assurance, cela donne à la population assurée une
structure différente de celle de la population générale,
car nous devons prendre en considération les annulations, les nouveaux
contrats, les avenants modifiant le type de contrat.
Ainsi, pour un groupe d'individus d'âge x, en
début d'année, on à N(x) est
l'effectif présent, et si on a E(x)
entrées, D(x)
décès et S(x)
départs, le taux annuel brut de mortalité est
habituellement évalué par la fraction :
D(x)
Qx _
N(x)+E(x) /2-S(x) /2
4 Calcul d'une prime fixe dans un environnement
aléatoire
L'aléa est le propre des opérations d'assurance,
il doit être pris en charge par l'assureur. C'est pourquoi, aux
mécanismes d'actualisation habituels, doivent s'ajouter des
éléments probabilistes. Les paiements envisagés dans le
futur doivent être non seulement actualisés, mais aussi
affectés de probabilités convenables. On est donc conduit
à la notion d'échéancier aléatoire, présente
dans tous les contrats d'assurance.
4.1 Variable aléatoire, la durée de vie
de l'assuré
Contrairement à l'assurance non-vie on ne se pose pas
la question de l'avènement du sinistre, il est certain en assurance vie.
Il en découle que la seule variable aléatoire à
étudier est la durée de vie de l'assuré Tx
définie dans un espace probabilisé.
L'assureur prend des engagements financiers aléatoires
à long terme qui sont par définition liés à la
durée de vie humaine. C'est un événement stochastique
autrement dit d'une famille de variables aléatoires indexées par
le temps (l'âge de l'assuré).
C'est cet aléa qui doit être pris en charge par
l'assureur. Aussi, aux mécanismes d'actualisation habituels, nous devons
ajouter des éléments probabilistes. Les paiements
envisagés dans le futur doivent être, non seulement
actualisés, mais aussi affectés de probabilités
calculées.
4.2 Le principe de l'actualisation en avenir
aléatoire
En mathématiques financières
déterministes, la valeur actuelle d'un capital différé de
montant unité payable dans n années, s'écrit(1
+ i)-n, ou i désigne le taux
t'intérêt annuel, car dans cette optique on suppose que le capital
sera payé de façon certaine.
Par contre, en assurance vie, en plus de faire intervenir le
mécanisme d'actualisation, s'ajoute une probabilité liée
à la variable aléatoire qui est la durée de vie de
l'assuré.
22
Chapitre I : Les Risques liés à
l'assurance-vie
a) Valeur actuelle aléatoire et valeur
actuelle probable :
La Valeur actuelle aléatoire (vaa), d'un capital
unité payable à l'époque n associée à la
réalisation de l'événement, est représentée
par la valeur w? actualisée avec une prime
dont
7
les valeurs peuvent être réalisés ou non
à la fin de chaque année, soit w? = (7+\)E
ou
w? = 0 (Hess 2000). On peut conclure
que cette valeur suit une loi de Bernoulli.
La Valeur actuelle probable consiste à envisager
tous les paiements possibles, à les actualiser financièrement au
taux annuel i, puis les pondérer par les probabilités
(Petauton 1996).
b) Capital différé et
annuités viagère
Comme on l'a déjà vu, le propre des
opérations d'assurance est la présence d'un aléa qui doit
être pris en charge par l'assureur. C'est pourquoi, aux
éléments probabilistes, doivent s'ajouter des mécanismes
d'actualisation. Les paiements envisagés dans le futur doivent
être non seulement actualisés, mais aussi affectés de
probabilités convenables. On est donc conduit à la notion
d'échéancier aléatoire, présente dans tous les
contrats d'assurance lié à la durée de vie.
Dans ce qui suit, nous examinerons d'abord l'un
élément simple de l'assurance vie (capital
différé), le but étant de comprendre les
mécanismes, ou plutôt, l'interaction entre les probabilistes et le
mécanisme d'actualisation. Le capital diffère est un exemple
probant et
7
très explicite du principe de la valeur actuelle probable
w? = 7\ E .
On pourra par la suite calculer les annuités qui
s'expriment comme une somme de capitaux différés. Cela sera fait
en distinguant les modèles en temps discret et ceux en temps continu.
Figure 2 Principe fondamental de l'assurance
vie
Le capital obtenu au terme par les survivants est égal
à leur mise initiale augmentée par
> l'effet de levier, dû à la mortalité :
B+? - B+
> la capitalisation financière, à travers le
taux d'intérêt technique : (1 ( ]~?
23
Chapitre I : Les Risques liés à
l'assurance-vie
Le taux d'intérêt, supposé constant sur la
période considérée. Le capital différé sera
payé de façon probable, car il est lié à la
réalisation éventuelle, il est alors nécessaire de faire
intervenir, en plus du mécanisme d'actualisation, la probabilité
pour que le capital soit effectivement payé. Cette probabilité
(px) concernant l'état viager de l'individu ou du groupe
d'assurés est susceptible de se réaliser ou non à
l'époque (n). Par définition la valeur actuelle probable d'un
capital unité payable à l'époque n et associée
à la réalisation de l'événement, est
l'espérance mathématique
E(wn).
Capital différé payable en cas de vie
après n années :
nEx = ilzn '
(1 + i)-n, que l'on peut écrire,
nEx =
nPx ' Vn
c) Les fonctions de commutation
Dans le but de simplifier les calculs numériques de
l'assurance vie, des fonctions dites de commutation ont été
introduites dès le dix-huitième siècle. Elles permettent
aussi des expressions plus condensées des (vap), valeurs actuarielles
probables les plus couramment utilisées. On distingue deux types de
commutations selon leur domaine d'application, celui de l'assurance en cas de
vie ou celui de l'assurance décès. Plus brièvement, on
utilise l'appellation "commutations vie" et "commutations décès",
(voir Annexe 8 page 115).
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