1.4 Mesures de la sensibilité de la Valeur
Actuelle Nette
La recherche de l'adéquation actif-passif est d'abord
passée par la répartition des engagements par groupe de taux de
rendement, puis par la construction de groupes d'actifs de taux de rendement
équivalent et de valeur actuelle identique. Pour chacun des groupes
ainsi constitués, la valeur actuelle nette est donc nulle.
Malheureusement, il est rapidement apparu que cet
équilibre était instable, car susceptible de fortes variations en
fonction de l'évolution des marchés. A l'évidence cette
situation était peu satisfaisante, et les économistes et
actuaires précurseurs de la gestion actif-passif se consacrèrent
donc à l'étude et à l'explication des variations de la
valeur actuelle nette.
a) Sensibilité de
l'Actif
Calcul d l d' ?VA(r)
VA() En=1--t Ft
e a dérivée
?
premiere
R = r = t *
(1+R)t+i
La variation de la valeur actuelle pour une petite variation
du taux d'actualisation est donnée par le
La sensibilité de la valeur actuelle nette est la
variation de prix relative ÔVA(r)/ÔR.
1Sensibilité = -- vA * (rtL1 t *
(1+R)t+i)
Lorsque les cash-flows Ft, sont tous
positifs, la sensibilité de la valeur actuelle aux variations du taux
d'actualisation est nécessairement négative. Il en est bien
sûr ainsi dans le cas des obligations, dont la valeur de marché
baisse quand les taux sont à la hausse et réciproquement.
a.1 Duration de Macaulay
Frédérick Macaulay, en 1938, définit la
duration comme étant la durée moyenne de l'obligation, chaque
durée t étant pondérée par la valeur actuelle des
cash-flows correspondants Ft/(1 +
R)t+1
Sensibilité = -- (1
1+R) * ('1t= * vA*(+tR)t+l).
L'expression(L 1 t * vA*(+tR)t+l),
représente la duration d'une série du flux fixes (Ft).
La sensibilité et la duration d'une série de flux
fixes sont donc reliées par la formule de
dua<\o?
John Richard Hicks, (1946), à savoir
Sensibilité ~ --
(1+R) .
a.2 Duration d'une rente perpétuelle
La duration d'une rente fixe annuelle dont l'arrérage vaut
1 et dont la durée est n années est
donnée par la formule Dn =
VAn1 * Ey 11 * 1
(1+R)i
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Chapitre II : Réassurance & Gestion
actif-passif
b) Sensibilité du
Passif
Des résultats encourageants dans l'analyse de l'actif
avec l'application des concepts de duration et de convexité, sont
obtenus. Certes, ces concepts ne s'appliquent pas universellement, mais ils
sont simples et utiles pour des calculs approchés. Néanmoins,
nous avons constaté qu'il existait deux limites importantes :
> le domaine d'utilisation de ces concepts est
limité aux variations parallèles de la courbe des taux
> les calculs de la duration et de la convexité ne
sont valides que pour les flux fixes, indépendants des taux de
marché.
La première limite n'est pas sans conséquence,
mais elle n'invalide pas totalement l'analyse du risque de taux. En effet, les
variations parallèles de la courbe des taux représentent la
principale source de risque pour la plupart des portefeuilles obligataires.
Ceci est démontrable, statistiquement, en analysant la
variance des taux. Une analyse statistique, en composante principale des
mouvements de la courbe des taux, permet d'identifier le premier facteur comme
la variation générale du niveau des taux.
L'analyse des portefeuilles obligataires par la duration ou
la convexité reste donc réellement pertinente, même si elle
est limitée aux variations parallèles de la courbe des taux. En
revanche, la seconde limite (cash-flows fixes) est très contraignante
pour l'analyse des passifs en assurance vie.
Dans l'exercice de ces options, le comportement du client
sera fréquemment influencé par l'évolution des taux de
marché. Les cash-flows du passif sont donc, dans le cas
général, dépendants du niveau des taux. Pour effectuer
l'analyse des engagements avec les outils de
1ergénération, nous devons nécessairement
assimiler les cash-flows du passif à des flux fixes, au moins en
première analyse.
L'actuaire peut envisager un pourcentage de rachat minimum
incompressible et indépendant de la conjoncture des taux de
marché. Il peut également, mais avec moins de certitude, proposer
un taux de rachat maximal dans un contexte de hausse des taux.
c) Notion d'immunisation
La notion de sensibilité est un indicateur de
l'exposition au risque de taux. En effet, on peut calculer l'exposition de la
Valeur Actuelle Nette au risque de taux :
|
dVA nette
|
dVA actif
=
|
dVA passif
|
|
|
dR dR dR
Si on considère le cas où la Valeur Actuelle
Nette initiale est égale à zéro, et où la
sensibilité de l'actif et du passif sont identiques, alors la variation
de taux est sans influence
sur la Valeur Actuelle Nette dVA
nette=
0.
dR
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Chapitre II : Réassurance & Gestion
actif-passif
On parle dans ce cas d'immunisation du risque de
taux. En effet, la Valeur Actuelle Nette devient insensible, sinon à
toute variation de taux, du moins à une petite variation
parallèle de la courbe des taux ; cet effet est obtenu en alignant les
sensibilités de l'actif et du passif.
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