Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

6.0.9 Stabilité du modèle : modes propres

Nous nous intéressons au problème des valeurs propres obtenu à partir de l'opérateur de raideur K(.,.), qui consiste à :

? ?? ??

trouver (A, X) E R x H^1(Ù) x H^1(s) tel que : (K0 + U K1 - U^2 K2)X = AX,

C'est une équation matricielle du second ordre en U, avec

_{Z Z Z}

K0 = c2 Ù Vq(x)
· Vp(x)dx + gc² ij(s)v(s)ds + aa V_sij(s)
· V_sv(s)ds,

f f _{s s}

_{Z Z}

K1 = c² V_sq(s)v(s)ds - c² V_sij(s)p(s)ds,

f f

Z _{s s}

K2 = c2 Ù Vq(x)
· Vp(x)dx. f

On a tracé plusieurs courbes en fonction de U

FIGURE 6.71 - Courbe des valeurs propres en fonction des vitesses

D

Ans ce travail d'ingénieur, nous nous sommes intéressés de la modélisation d'une condition aux limites transparentes pour un écoulement

transitoire permetttant de mettre en oeuvre un modèle de simulation hydrodynamique de sillage de bateau en milieu infini.

L'intérêt de ce travail est de permettre une modélisation non-lineaire du comportement de la surface de l'eau tout en évitant les phénomènes de réflections d'ondes qui apparaissent habituellement lorsqu'on utilise une modélisation classique, sur un ouvert de calcul borné.

Pour réaliser cette étude nous avons suivi la démarche suivante :

- tout d'abord, une modélisation mathématique du problème acoustique en écoulement uniforme et du modèle de Kelvin-Neumann en prenant en compte la capillarité, la gravité et pression de l'eau, a été établie.

- Puis une analyse mathématique de la condition aux limites transpar-
entes sur les frontières verticales en amont et en aval a été réalisée.

- Enfin, la simulation numérique du modèle fluide-vague à la surface avec une condition aux limites transparentes sur les frontières a été mise en oeuvre.

Nous avons appliqué cette méthode aux problèmes de la propaga-

tion acoustique dans un domaine contenant de l'eau en écoulement uniforme dans lequel est immergé une structure à section constante. Une formulation variationnelle du problème considéré avec la condition aux limites transparentes sur les frontières optimales du domaine a été faite. Ensuite l'existence et l'unicité de la solution de ce problème sont établies en fonction de la vitesse critique.

Une approche numérique a enfin été présentée. Dans un premier temps, nous avons considéré une structure à section symétrique (une ellipse) pour vérifier nos modèles puis nous avons élargi le problème à un sous-marin. Cette approche numérique a permis d'une part, dans le cadre du problème couplé de mettre en évidence les phénomènes suivants :

- les ondes de surfaces qui apparaissent grâce d'une part à la pesanteur qui tend à maintenir l'interface air-eau horizontale et d'autre part la tension de surface qui tend à maintenir l'interface plane.

- Le phénomène de non réflection d'onde en amont et en aval de l'é-

coulement , ce qui se traduit le comportement à l'infini de l'onde.
D'autre part de montrer que le système est stable tant que la vitesse

de l'écoulement est inférieure à la vitesse dite critique.

Enfin, Une seconde poursuite à ce travail pourrait évidemment porter
sur l'extension au cas tridimensionnel. Cela nécessitera en particulier la

généralisation de ces résultats à un écoulement non uniforme sur des domaines de différentes configurations.

Il serait également intéressant d'étendre ces résultats au cas d'un bateau de surface avec tossage (Th. Gazzola [13]).