6.0.6 Conclusion
Cette étude a montré la faisabiité de la
mise en oeuvre de la condition aux limites transparentes sur un cas
transitoire. Les solutions obtenues
sont satisfaisantes.
Le choix de l'utilisation de la condition de Neumann au fond
du bassin plutôt qu'une condition transparente à permis de
visualiser d'une par les ondes piègées et d'autre part de
vérifier l'algorithme développé.
6.0.7 Modèle avec couplage avec les vagues
L'objectif suivant est de coupler ce modèle avec le
modèle de vague à la surface.
Cependant, ce objectif ne peut pas être atteint sans
difficulté. Premièrement, les frontières de la surface
libre Fs sont réduit en des points
géometrique conduisant à une singularité. Ainsi il est
difficile de définir analytiquement une conditions aux limites
adaptée en ce deux points.
Et par soucis de simplification, nous appliquons pour les
differentes expériences numériques, une condition aux limite de
type:
= 0 au point géometrique situé à gauche de
la frontière
?ç
-
?ís
?Fs de Fs ,
- et au point géometrique situé à droite de
cette frontière, nous im-
?ç ?ç
posons : + cr = 0 .
?t ís
cr est la vitesse de ride et
determinée par la relation:
r ó
cr =2eñ,
avec
- ó = 7.5 × 10-3 : la constante
de capillarité,
- ñ = 103 : masse volumique de
l'eau.
De cette relation, nous obtenons une valeur numérique
de l'épaisser de la surface capillaire, en supposant que la vitesse de
ride est égale à la vitesse de l'écoulement du fluide
u.
Ce qui nous donne une expression de la constante e sous
la forme:
e =
ó
2u2ñ
De ce fait, la matrice T intervenant dans la matrice
d'amortissement notée C est une matrice carrée dont la
dimension est égale au carré du nombre de noeud sur la
frontière Fs et contenant un seul élement
définie comme suit:
0 ... 0 0
T= ... ... ...
0 ... 0 0
0 ... 0 u
Deuxièment, la présence des différentes
ondes (ondes de gravité , on-des acoustique et ondes de
capillarité) entrainent une grande disparité des vitesses d'ondes
et de celle du bateau conduit à des difficultés
numériques, que nous surmontons en utilisant un schéma
d'intégration en temps adapté (4.1).
6.0.8 Résultats numériques
L'algorithme des simulations numériques que nous
présentons ciaprès sont très similaires aux
précedentes, la différence majeur étant le couplage avec
les équations de vagues et l'application d'une condition aux limites
transparentes au fond du bassin (I'0) pour éviter les ondes
piègées entre le fond de la structure et le fond du bassin.
Dans un premier temps, nous utilisons le même maillage
que dans le cas précedent avec la même structure (une ellipse) et
les mêmes données numériques. La condition initiale
étant la même, mais cette fois-ci définie sur la
structure.
Ensuite, nous présentons les résultats
numériques pour un domaine con-tenant un sous-marin.
FIGURE 6.19 - Step 1-2 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.20 - Step 3-4 : couplage avec les vagues
Pour le domaine contenant une ellipse, nous avons les
figures suivantes
FIGURE 6.21 - Step 5-6 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.22 - Step 7-8 : couplage avec les vagues FIGURE 6.23 -
Step 9-10 : couplage avec les vagues FIGURE 6.24 - Step 7-8 :
couplage avec les vagues
73
FIGURE 6.25 - Step 13-14 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.26 - Step 15-16 : couplage avec les vagues FIGURE 6.27 -
Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.28 - Step 9-10 :
couplage avec les vagues
FIGURE 6.29 - Step 21-22 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.30 - Step 11-12 : couplage avec les vagues FIGURE 6.31 -
Step 13-14 : couplage avec les vagues FIGURE 6.32 - Step 15-16 :
couplage avec les vagues
FIGURE 6.33 - Step 29-30 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.34 - Step 31-32 : couplage avec les vagues FIGURE 6.35 -
Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.36 - Step 19-20 :
couplage avec les vagues
FIGURE 6.37 - Step 37-38 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.38 - Step 21-22 : couplage avec les vagues FIGURE 6.39 -
Step 23-24 : couplage avec les vagues FIGURE 6.40 - Step 43-44 :
couplage avec les vagues
FIGURE 6.41 - Step 25-26 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.42 - Step 27-28 : couplage avec les vagues FIGURE 6.43 -
Step 29-30 : couplage avec les vagues FIGURE 6.44 - Step 29-30 :
couplage avec les vagues
dynamique produit par la source et la forme de la structure.
Nous avons aussi l'existence d'ondes à la surface de
l'eau (les vagues) due, d'une part à la pesanteur qui tend à
maintenir l'interface air-eau horizontale (ondes de gravité), et d'autre
part à la tension de surface qui tend à maintenir l'interface
plane (onde capillaires).
D'autre part, l'amplitude des réflexions parasites des
ondes sur les frontières latérales sont minimiser par l'effet
transparent de la condition aux limites transparentes appliquées sur ces
frontières.
Valeurs propres
Considérons toujours le domaine contenant une ellipse
avec les frontières adaptées (cas précédent).
L'étude de la stabilité du système consiste à
étudier les valeurs propres de l'opérateur de raideur
K(.,.) obtenu après couplage :
ZK(X, Y) = Ù[c2
f V?(x)
·
Vø(x) - (V?0(x)
·
V?(x))(V?0(x)
·
Vø(x))]dx
Z
+ c2
[Vs?0(s)
·
Vs?(s)v(s) -
Vs?0(s)
·
Vsç(s)ø(s)]ds
f s
Z Z
+ gc2
ç(s)v(s)ds + óa
Vsç(s)
·
Vsv(s)ds,
f s s
dont la matrice est :
|
?
K = ?
|
Kf -Bc1 Bc2
Ks
|
?
? .
|
Pour cette étude, nous-nous intéressons à
la première valeur de la vitesse de l'écoulement u, pour
laquelle la plus petite valeur propre notée ëmin est
négative (ëmin = 0). Nous avons appelée cette
vitesse, vitesse critique et notée uc.
Des simulations numériques montrent l'instabilité
du modèle lorsque la vitesse u est supérieure à
la vitesse critique.
C'est la vitesse à partir de laquelle le modèle
peut devenir instable.
La figure suivante donne l'allure de la courbe
représentant les valeurs de la plus petite valeur propre obtenue en
fonction des vitesses d'écoulement.
Les calculs sont faits pour des données suivantes :
fluide
- masse volumique du fluide ñ = 1000
kg.m-3 - intensité pésanteur g
= 9.8 m.s-2
- coefficient de tension superficiel ó = 0.075
N.m-1 Le domaine plus la structure (ellispe) est
maillé en :
- 85075 élèments triangles
- contient 42020 noeuds intérieurs
- et 1027 noeuds sur les frontières.
On observe que uc
0.18m.s-1 ce qui signifie qu'au dessus de cette
valeur le modèle peut être instable.
FIGURE 6.45 - Courbe des valeurs propres en fonction des
vitesses
FIGURE 6.46 - Step 1-2 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.47 - Step 3-4 : couplage avec les vagues
Pour le domaine contenant un sous-marin.
Les simulations numériques que nous présentons
dans cette section sont très similaires aux précedentes, la
différence majeure étant que la structure immergée est
remplacée par un sous-marin.
Ainsi, nous avons les figures suivantes :
FIGURE 6.48 - Step 5-6 : couplage avec les vagues
Nous observons sur les premières figures l'apparition des
ondes de surface
81
FIGURE 6.49 - Step 7-8 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.50 - Step 7-8 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.51 - Step 11-12 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.52 - Step 9-10 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.53 - Step 15-16 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.54 - Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.55 -
Step 11-12 : couplage avec les vagues FIGURE 6.56 - Step 21-22 :
couplage avec les vagues
FIGURE 6.57 - Step 13-14 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.58 - Step 25-26 : couplage avec les vagues FIGURE 6.59 -
Step 15-16 : couplage avec les vagues FIGURE 6.60 - Step 29-30 :
couplage avec les vagues
FIGURE 6.61 - Step 31-32 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.62 - Step 17-18 : couplage avec les vagues FIGURE 6.63 -
Step 19-20 : couplage avec les vagues FIGURE 6.64 - Step 37-38 :
couplage avec les vagues
85
FIGURE 6.65 - Step 21-22 : couplage avec les vagues
FIGURE 6.66 - Step 41-42 : couplage avec les vagues FIGURE 6.67 -
Step 23-24 : couplage avec les vagues FIGURE 6.68 - Step 45-46 :
couplage avec les vagues
86 Chapitre 6. Résultats numériques
FIGURE 6.69 - Step 25-26 : couplage avec les
vagues
FIGURE 6.70 - Step 49-50 : couplage avec les vagues
Conclusion
Ici encore les résultats sont concluantes et sont presques
analogues à ceux obtenus dans la simulation précedente.
En effet, on observe les sillages hydrodynamiques autour du
sous-marin
et les vagues à la surface, ce qui semble correct du point
de vue physique.
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