4.3 DiscréTisATioN eN TeMps
Dans cette partie, nous allons décrire et analyser la
methode d'intégration numérique de l'équation
différentielle matricielle du second ordre (3.9) avec les conditions
initiales. Nous nous contenterons d'une méthode parmi les plus
usitées.
L'intervalle de temps [0, T] sur lequel on souhaite
évaluer la solution de (3.9) , est partagé en sous intervalles
supposés égaux pour simplifier et de longueur At .
En posant Xn l'approximation obtenue par le
calcul du vecteur X(nAt) à l'instant
nAt on a :
Xn+1 + Xn
X(nAt) =
2
On utilise ensuite différentes estimations des
dérivées Xÿ et
X· à l'instant nAt :
Xn+1 - Xn
ÿX(nAt) =
At
·X(nAt) =
Xn+1 - 2Xn + Xn-1
At2
L'équation différentielle du second ordre est
résolue par un schéma au différences.
)0+1 - 2Xn + Xn-1
)0+1 - )0 Xn+1 + X M ) + C( ) + K( )
= F .
(
At2 At 2
L'avantage de telles méthodes est qu'elles sont moins
coûteuse puisqu'elles ne nécessitent l'évaluation des
inconnues fluide et vague qu'une seule fois par itération en temps.
(At)2 +1
(At)2
[M + AtC + 2
K]Xn [2M + AtC - 2
K]Xn +
[M]Xn-1 =
(At)2F
(4.1)
4.4 ETuDe De LA sTAbiLiTé Du scHéMA
D'iNTégrATioN eN TeMps
ment, on a :
?
???????????? ?
?????????????
trouver XN ? Vh tel que
?Y ? Vh, M( Xn+1 -
2Xn + Xn-1,Y) +C(
Xn+1-Xn
(4.2)
Ät , Y)
Ät2
+K( Xn+12
+Xn , Y) = F(Y).
Posons
Y = Xn+1 -
Xn,
Une démarche similaire que celle de la section 2.4.1,
tout en remarquant que l'opérateur C(.,.) contient des termes
symétriques et des antisymétriques conduit A :
M( Xn+1 - Xn Ät ,
Xn+1 - Xn
Ät ) + 1
Ät(C(Xn+1 -
Xn, Xn+1 - Xn)) +
1 2(KXn+1,
Xn+1)
= M( Xn - Xn-1
Ät , Xn+1 - Xn
Ät ) + 1
2(KXn, Xn).
(4.3) Les termes antisymétriquess de
l'opérateurr C(.,.) s'annulent,, et les termes
symétriquess sont tels que
1 (Cs(Xn+11
--- Xn,, Xn+11 --- Xn)) =>
,
Ätt
L'inégalitée de Cauchy-Schwarz suivante :
(MX, Y)
=<221122(MX,,X))++11(MY,,
Y),
appliquéee au premier terme du second membre de
l'égalitée (4.3), donne :M( Xn -
Xn-1
Ät , Xn+1 - Xn
Ät ) = 1 2 M( Xn -
Xn-1
Ät , Xn -
Xn-1 'Ätt )1 1Xn+1
i- _XnnXn+1 i- _Xnn+ +2M((Ät
t, 'Ätt ),'
on obtient ensuite :2 M( Xn+1 - Xn
+ 2K(Xn+1 ,Xn+1)
1 Ät , Xn+1 - Xn
Ät ) + 1
Ät(C(Xn+1 -
Xn, Xn+1 - Xn)) +
1
11Xnn-_Xn-11Xn n-
_Xn-11=<2M((
Ät t, 'Ätt
).
·
(4.4) Et comme l'opérateurr symétriquee
Cs(.,, .) est positif, alors l'inégalitée
(4.4) donne l'inégalitée :2 M( Xn+1 -
Xn
1 Ät , Xn+1 - Xn
Ät ) + 1
2K(Xn+1, Xn+1) =1 2
M( Xn - Xn-1
Ät , Xn -
Xn-1 'Ätt )
+ 12 K(Xn,,
Xn).
Considérons l'énergie mécanique est
définie par l'expression :
1 Ät , Xn -- Xn--1
En = 2 M( Xn -- Xn--1
Ät ) + 1
2K(Xn, Xn),
nous aboutissons à la même conclusion que dans le
cas dimension c'est-àdire :
En+1 En.
L'energie mécanique totale est décroissante au sens
large au cours du temps, ce qui assure la stabilité de ce schéma
numérique.
N
ous décrivons maintenant les différentes
étapes et l'algorithme de résolution de notre problème.
- Une première étape consiste à
determiner les frontières optimales sur les quelles seront
appliqueés les conditions transparentes. Pour cela, nous allons d'abord
chercher la solution stationnaire q'0 du système (2.7).
Nous pouvons ensuite obtenir à partir des gradients de
cette solution stationnaire la vitesse de l'écoulement. Les lignes de
courants peuvent être defini par la suite en observant au même
instant l'ensemble des points de l'écoulement pendant une durée
assez courte en description lagrangien.
Les frontières optimales seront obtenues alors par
découpage du domaine suivant les courbes équipotentielles
orthogonales aux lignes de courant.
Rappelons que, les deux conditions aux limites (2.34), ne sont
valables que pour une frontière perpendiculaire à la direction de
l'écoulement, c'est-à-dire pour des écoulements dont les
champs de vecteurs vitesses sont colinéaires à la normale
sortante de la frontière considerée. Ainsi, pour un
écoulement quelconque avec une frontière curviligne quelconque,
l'apparition des composantes tangentielles de la vitesse de l'écoulement
sur la frontière considérée entraîne des
difficultés supplémentaires que nous n'abordons pas dans ce
travail.
- Dans un second temps, nous appliquons la condition aux
limites au cas d'un écoulement transitoire.
- Et enfin, une extension au équations des vagues
progressives sera étudiée. Les calculs sont effectués dans
un cadre bidimensionnel et les scripts de simulation sont
développés en langage Python.
5.0.1 Solution stationnaire
Nous nous plaçons dans le cas d'écoulement
potentiel et incompressible. Nous avons donc à resoudre le
système suivant définit au (2.7) :
? ?????????
?????????{
-Ä?0o = 0 dans
Ù,,???0o=
=0 0sur r0 o? Ub b? us,,??0" =
(e1,, U) sur 1i ?u 2,,
?ív
ou ?0 est définie à constante près,
que nous fixons en prenant la condition de moyenne nulle sur
s :
Z
?0 = 0. s .L'espace des fonctions test
consideré pour la formulation variationnelle de
ce problème sera :
H1(Ù)) = {v/v ?E
L2(Ù)// ?kvv ?E L2(Ù)}}
et la formulation variationnelle est :
Z Z Z ??0
?ø ? H1(Ù); - Ù
Ä?0ø = Ù r?0rø -
?í ø,
?Ù
??0
en tenant compte des valeurs de sur les frontières de
l'ouvert Ù, on
?í
a :
Z Z
?ø ? H1(Ù); Ù
r?0rø = u ø,
1?2 '
Le problème à resoudre devient :
|
?
???
???{
|
Trouver ?0o ?E H1(Ù)) telle
que :
Z Z
Ù r?0rø = u
ø , ?ø ? H1(Ù).
1?2 2
|
Ce problèmee admet bien une solution unique. Pour s'enn
assurer, nous vérifionss les hypothèsess du
théorèmee de Lax-Milgram.
Commençonss par montrer :Z
la continuité de la forme bilinéaire :
a(?0, ø) = Ù r?0rø
lZ
|a(?0, ø)| = | Ù
r?0rø| =
kr?0kL2(Ù) ×
krøkL2(Ù) =
|?0H1(Ù)||øH1(Ù)|
l
=
1?01L2(Ù)1ø1L2(Ù).
·
Ainsi :
La forme bilinéaire a(.,.) est donc continue sur
H × H et elle est H-coercive.
Montrons maintenant la continuité de la fonctionnelle
Z
l(ø) = u ø :
1?2
|l(ø)|= ~ ~u(f 2
ø - f 1 ø) ~~~ = u(k Z
øIIL2(Ù) + 11
øIIL2(Ù))
1 2
= u(køkL2(1) +
IøIIL2(2)) Cauchy-Schwarz
= u(c1 +
c2)IIøIIH1(Ù) par
l'inégalité de Trace
d'où :
|l(ø)| = u(c1 +
c2)IIøIIH1(Ù), avec
c1 , c2 et u des constantes
Ainsi l'existence et l'unicité de solution au
problème (2.7) sont démontrées.
Les figures (5.1) et (5.2) montrent les solutions obtenues
avec deux maillages contenant respectivement une structure symétrique et
non symétrique. Pour ce calcul nous avons considérer une vitesse
d'écoulement de U = 0.01m.s-1.
FIGURE 5.1 - Résultat avec stucture symétrique
: une ellipse.
La différence est significative au niveau de la
répartition des champs de vitesse autour des structures.
FIGURE 5.2 - Résultat avec stucture non
symétrique :un sous-marin.
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