Conditions aux limites transparentes et modélisation des vagues de surface dans un écoulement

4.2 DiscrétisatioN eN espace

Soit une triangulation donnée du domaine Ù telle que Ù = S K?g-K.

Le paramètre h, caractérise la finesse du maillage, et est défini de la manière suivante :

h = maxK?g-hK,

avec hK le diamètre de la plus petite sphère contenant l'élèment K. Nous introduisons ensuite l'espace d'approximation

Vh = {vh ? C⁰(Ù)/ vh/K ? (P1)³, ?K ?

qui est le sous-espace vectoriel des fonctions à valeurs vectorielles continues sur Ù et de restrictions affines sur chaque élément et correspond à l'utilisation d'éléments finis de Lagrange de type P1.

Celui-ci constitue une approximation conforme de l'espace H¹(Ù)³ et sa dimension est égale au nombre de degré de liberté du problème, soit 3Nh où Nh désigne le nombre de noeuds de la triangulation g^- appartenant à Ù.

A chaque noeud ni , i = 1, Nh, de la triangulation sont alors associées

trois fonctions de bases : wi1, wi2, wi3 appartenant à Vh et vérifiant :

1 0 0

wi1(nj) = (0) äi,j , wi2(nj) = (1) äi,j , et wi3(nj) = (0) äi,j, j = 1, ...., Nh

0 0 1

Où äi_,jdésigne le symbole de Kronecker.

Et tout champ vh de Vh se décompose alors sous la forme :

Nh 3

vh = ? ? vhá(ni)wiá.

i=1 á=1

Ainsi, tout élément de Vh peut être identifié à un vecteur colonne formé des valeurs réelles _vhá(ni) , i = 1, Nh et á = 1,2,3 des composantes de vh aux noeuds du maillage.

A l'aide de cette base, on peut à partir de chacune des formes bilinéaires M(., .), C(.,.) et K(.,.), obtenir les matrices notées respectivement M^s, Mf, Cf, Cs, Kf , K^s appelées matrices des masses, des raideurs, d'amortissements et de couplages définissant la discretisation spaciale du système (3.9).

ZÙ ?iøj

Mf =

i,j

= fI r?i
· røP- u2 I (r?0
· r?i)(rñ0
· røj)

i,j

C = u I (r ?0
· r - u _I (r?0
· røj)?i + cf f ?iø

i,j

?2

et

_Z

Ms i,j = 2åñ çivj,

_s

_{Z Z}

Ks i,j = ñg _çivj + ó rsçi
· rsvj

_{s s}

_{Z Z}

Cc1

i,j = c2 çiøj et Cc2

i,j = ñf ?ivj

f _{s s}

Bz) = uq f vs?0
· vsçiøj et B^c_i²= uñ I Vs?0
· vs?ivj

rs ^,jrs

Et le problème approché consiste alors à trouver un élèment X^h de Vh tel que :

?Y ? H¹(Ù) × H¹(_s) M( ^·X^h,Y) + C( ^ÿX^h,Y) + K(X^h,Y) = L(Y),

ce qui s'écrit de manière détaillée sous forme matricielle, en considérant pour tout :

~

? ~X ? H¹(Ù) × H¹(_s) et Y = (^ø) ? H¹(Ù) × H¹(_s) : ç v

? ?

Mf 0 0 Ms

?? ? ?

? +? Cf -C^c^1 ??ÿ? +? e^. -Bc1 ?? =?0? ? Cc2 T ?çÿ? ? Bc2 Ks ?Id F

Notons que la matrice T est explicitée après, dans la section Résultats Numériques.

Ainsi nous obtenons en posant respectivement :

? M = ?

Mf 0 0 M^s

? ? ? ? ?

Cf _-Cc1 Kf -Bc1

? , C = ? ? , K = ? ?

Cc2 T Bc2 _Ks

et F = [F^0,

une équation différentielle matricielle du second ordre en temps. M kt ozh KX^h = F

Pour pouvoir la résoudre, il faut prendre en compte les conditions initiales en vitesses et en déplacements.

Pour cela, on construit un interpolé dans Vh du champ de déplacements initial, X^0h, et du champ à vitesse initial, soit ÿX⁰h

On impose alors à t = 0 :

X^h(0, x) = X^0h(x),
^ÿX^h(0, x) = 10^h(x).