Etude d'une équation parabolique

1.3 Espaces métriques, espaces topologiques

1.3.1 Norme, distance, topologie

Définition 1.3.1 Soit X un espace vectoriel réel, une norme sur X est une application x '~p kxk de X dans II1⁺, telle que :

(N1) kxk = 0 , x = 0.

(N2) AxM = jAj kxk , Vx 2 X, VA 2 II1.

(N3) x + yM < x + MyM ,Vx,y 2 X (inégalité triangulaire ).

Définition 1.3.2 Soit X un espace vectoriel réel, un espace normé est un couple (X, k.k) , oh k.k est une norme sur X.

Notation 1.3.1 On note parkxk_X la norme de x dans X.

Définition 1.3.3 Soit X un ensemble non vide. Une distance sur X est une application

(x,y) i~p d(x,y)

de X x X dans II1⁺ telle que :

(131) d (x,y) = 0 '~i x = y.

(132) d (x,y) = d (y,x) ,Vx,y 2 X.

(133) d (x, y) < d (x, z) +d (y, z), Vx, y, z 2 X (inégalité triangulaire).

Définition 1.3.4 Un espace métrique est un couple (X, d), ot d est une distance sur X.

Définition 1.3.5 Soit (X, d) un espace métrique. Pour x 2 X et r > 0, on définit :

1- La boule ouverte de centre x et de rayon r est :

B (x,r) = {y 2 X, d(y,x) < r}. (1.6)

2- La boule fermée de centre x et rayon r est :

B (x,r) = {y 2 X, d (y,x) ~ r}. (1.7)

3- La sphere de centre x et rayon r est :

S (x,r) = {y 2 X, d(y,x) = r}. (1.8)

Definition 1.3.6 Soit (X, d) un espace métrique. Par définition, une partie U de X un ouvert si pour tout x 2 U, il existe un r > 0 tel que B(x, r) c U.

Definition 1.3.7 Soit (X, d)un espace métrique. Un ensemble F C X est fermé si son complémentaire F^C est ouvert.

Proposition 1.3.1 On a

- Pour tout x 2 X et r > 0, B(x;r)est un ouvert.

- Si U est un ouvert, Vi 2 I, alors U i El

U est un ouvert.

- Soit ii 2 N , si U est un ouvert, i = 1, .., ii, alors _In U est un ouvert.

i=1

Proposition 1.3.2 On a

- Pour tout x 2 Xet tout r > 0, B(x; r) est un fermé.

- Soit ii 2 N , si Fi un fermé, i = 1, .., ii, alors _Sn Fi est un fermé.

i =1

- Si Fi est un fermé, Vi 2 I, alors fl iEI

Fi est un fermé .

Definition 1.3.8 Soient E un ensemble quelconque et P (E) la famille de toutes les parties de E . On dit qu'une sous famille r de P (E) est une topologie sur E si elle satisfait les trois conditions suivantes :

(A1) E 2 T, 0 2 r.

(A2) -i- est stable par réunion (fini oIl non) c'est-à-dire :

	U 8 (cj), El c r :	~i 2 ji-. (1.9)
.	i El
(A3) -r est stable par intersection finie c'est-à-dire : fl 8 (~j)i 2J C r : j EJ			~i 2 ji-. (1.10)

Le couple (E, -r) s'appelle espace topologique. les éléments de r sont dits ensembles ouverts de(E, r).

Definition 1.3.9 On appelle voisinage d'un point x de l'espace topologique E tout sous ensemble de E contenant un ouvert contenant x et noté V (x) .

Definition 1.3.10 On appelle intérieur d'un sous ensemble A de E , la réunion de tous les ouverts contenus dans A, autrement dit le plus grand ouvert contenu dans A et noté A.

Definition 1.3.11 On appelle adhérence d'un sous ensemble A de E , l'intersection de tous les fermés qui contient A, autrement dit le plus petit fermé qui contient A et noté A.

Definition 1.3.12 La frontiêre d'un ensemble A de E est l'ensemble des points x dont tout voisinage V contient au moins un point de A et un point de A^c. C'est-à-dire

Fr (A) = A n A^c.

Definition 1.3.13 L'extérieur d'un sous ensemble A qui noté E (A) est définie par

E_x(A) = (A~^c .