Etude d'une équation parabolique

1.2 Quelques notions autour des dérivées partielles

1.2.1 Dérivées directionnelles :

Soit

f : -* R

une application, (x0, yo) un point de et u = (ui, u2) un vecteur de R².

On appelle dérivée directionnelle de f en (x0, yo) dans la direction de u la dérivée en s = 0, si elle existe, de la fonction d'une variable

f_u : s --> f(xo, yo) + su).

On la note alors

auf(xo, yo).

1.2.2 Les applications de classe Ck

Soit S2 un ouvert non vide de Rⁿ, pour tout

k E N = N U {-oo},

on définit l'espace C^k(Q) comme suit :

C^k(Q)={f : 5 ----> 1 ou C : D^af E C(Q),Va E Nⁿ; < k} .

Autrement dit : une fonction

f : S2--> R_;

est dite de classe C^k sur S2 si toute ses dérivées partielles jusqu'a l'ordre k existent et sont continues.
C^k(Q)=f:S2 ----> 1<8

oft C : f E C^k(Q), et toutes les dérivées partielles l'ordre k se prolonge continument a Q.

^C°"⁾ = krOCk (Q)

et

^C°"⁾ = k^rO^{Ck (Q).}

Théorème 1.2.1 Si f est de classe C² dans Q, alors on a :

ayf =@2 _yxf_; dans SI

On note aussi les dérivées secondes

82!			82!
,9x^2 '		Oxoy ' :::