1.6. Espace euclidien
1.6.1. Espace vectoriel euclidien
Définition 1.16.
Un produit scalaire sur E est une application
f : E × E ? possédant les trois
propriétés suivantes :
- symétrie : f( x , y ) = f
( y , x pour tout x ? E et tout y
? E (1.18.)
- bilinéarité : ( 1
f x + x y = f x y + f x y
2 , 1 , 2 , ), et f ( ë x , y =
ëfx ,y pour tout ë ? et
tout x ? E, tout y ? E, tout
x1 ? E et tout x2 ?
E. (1.19.)
- positivité : f ( x, x ) = 0
pour tout x ? E, et f ( x, x ) = 0
équivaut à x = 0. (1.20.)
Remarque 1.11.
- Pour représenter le produit scalaire on utilise aussi
les notations suivantes1 :
x . y, ( x x) , x,y
- Ce produit est appelé produit scalaire
justement parce que le résultat du calcul x . y n'est pas un
vecteur, mais un nombre réel, un scalaire2.
Définition 1.17.
Un espace vectoriel E de dimension finie n = 1
sur le corps des réels, où l'on a choisi un produit scalaire,
s'appelle un espace vectoriel euclidien.
Définition 1.18.
On appelle x la norme du vecteur x
telle que [ ( ) 2
1
(1.21)
x = f x , x .
Remarque 1.12.
Le produit scalaire peut être retrouvé à
partir de la norme. Les propriétés (1.18.) et (1.19.)
entraînent en effet
f ( x y x y f x x f ( y y ) f
( x y f ( y x
+ + =
, , + , + , + ,
d'où : f ( x y x y f ( x x f (
y y ) f ( x y ) f y x
+ + -
, , - , - , = 2 , (1.22.)
ce qui s'écrit encore :
2 2
2
,
f x y = x + y - x -
y . (1.23.)
( ) 2
Définition 1.19.
On appelle angle (ou écart angulaire) des deux
vecteurs x et y non nuls, le nombre réel
è ? [ 0, ð ] tel que :
f x , y
( )
cos è = (1.24.)
x
y
Le produit scalaire s'exprime donc sous la forme :
f (x , y ) = x y cosè
(1.25.)
La notion d'angle ainsi introduite est relative : elle
dépend du produit scalaire choisi.
Définition 1.20.
Soit E un espace euclidien de dimension n ; et
soient x, y ? E .
On dit que les vecteurs x et y sont
orthogonaux si leur produit scalaire f(x, y) est nul.
Définition 1.21.
Une base (e1,...,en) de E est
appelée orthonormée si elle vérifie les
conditions :
e1 = ...= e n =1
(1.26.)
f (e i , ej =
0si i ? j . (1.27.)
Remarque 1.13.
Si n vecteurs d'un espace E de dimension
n, muni du produit scalaire f, vérifient les
conditions (1.26.) et (1.27.), ils constituent une base.
Définition 1.22.
Soient F et G, deux sous-espaces vectoriels
d'un espace vectoriel euclidien E. on dit
que F et G sont orthogonaux si tout
vecteur x appartenant à F est orthogonal à tout
vecteur y appartenant à G.
Définition 1.23.
Soit E un espace euclidien sur
R de dimension n. On appelle
transformation orthogonale de E, une application
linéaire q de E dans lui-même qui conserve la
longueur d'un vecteur quelconque :
? ( x ) = x , pour tout x? E.
(1.28.)
Lemme 1.1.
Soit E comme ci-dessus et l : W ? une
forme linéaire. Il existe un vecteur A? E et un seul
tel que l(X) = X . A pour tout X ? E.
det(U,V,W) = A . W pour tout W ? E.
Définition 1.24.
Ce vecteur A, qui ne dépend que des vecteurs
U et V, s'appelle le produit vectoriel de U
et V et se note :
A = U?V (1.29.)
On a donc
det( U ,V , W =U? V
·W (1.30.)
Remarque 1.14.
L'égalité (1.30.) justifie l'expression de
produit mixte qui est donné au volume algébrique
det(U,V,W) des trois vecteurs U,V,W.
Théorème 1.4.
a)
U ?V = 0 si et seulement si U
= 0 ou V = )U, ë ? (c'est-à-dire si et seulement
si les vecteurs U et V sont liés).
b) Si U et V ne sont ni nuls ni
proportionnels (donc ne sont pas liés), (U, V, U ? V)
forme une base directe de E, le vecteur U ? V
étant orthogonal à U et à V.
c)
U ? V = U V sin è
,oùè ? [ 0, ð ] est l'angle des deux vecteurs U
et V supposés non nuls.
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