Introduction à la géométrie non-euclidienne

3.3. Espaces de Riemann

Pour mieux comprendre ce qu'est un espace de Riemann, prenons un petit exemple d'une surface à deux dimensions.

Exemples 3.1.

Considérons une sphère de rayon R, de surface S, située dans l'espace ordinaire à trois dimensions. Les coordonnées cartésiennes x, y, z d'un point M de la surface S peuvent

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s'exprimer, en fonction des coordonnées sphérique( r, è , ö . La sphère est entièrement décrite

pour un rayon donné 0 ? ö <2ð et 0 = è < ð .

Ces trois paramètres, coordonnées curvilignes sur la surface ou également dites coordonnées de Gauss permettent de déterminer un point sur la surface d'une sphère. D'autres paramètres quelconques u, v, w peuvent évidemment être choisis comme coordonnées curvilignes sur la surface.

L'élément linéaire de la surface ds ², carré de la distance entre deux points infiniment voisins M, M', s'écrit en fonction des coordonnées sphériques :

ds ² = dr² + r²dè ² + r² sin ² èdö ² (3.13.)¹

Nous obtenons ainsi une expression de l'élément linéaire en fonction des trois seules coordonnées de Gauss ( r, è , ö . Nous pourrions bien sûr imposer une étude locale (plan

tangent) comme étant un ainsi l'élément linéaire ne serait plus fonction que de (è ,ö ) comme nous l'avons vu plus haut :

ds ² = r²dè ² + r² sin ² èdö ² (3.14.)

Ecrire à l'aide des trois paramètres, la surface de la sphère (considérée comme un espace à deux dimensions) constitue un exemple d'espace de Riemann à deux dimensions. Dont l'élément linéaire est de la forme générale bien connue (cf. le chapitre traitant du calcul tensoriel) :

ds 2 = g_ik duⁱ du^k (3.15.)

où les duⁱ sont les composantes contravariantes du vecteur dM = MM' par r apport au repère naturel (M, e_i) .

Remarque 3.4.

L'étude des figures sur des surfaces riemanniennes fait partie de la géométrie différentielle.

Considérons à présent un surface quelconque de coordonnées u ¹ , u ². Les coordonnées

cartésiennes x, y, z de l'espace ordinaire où se trouve plongée cette surface s'écrivent de manière générale :

x = x( u , u ² , y = y u ¹ , u ² , z = z (u ¹ , u ² (3.16.)

Remarquons par ailleurs que l'équation métrique sous forme tensorielle :

¹ Cette expression découle des notions sur le calcul tensoriel qui ne fait pas l'objet de la présente étude.

ds = g _ik du du

2 i k (3.17.)

peut s'écrire sous forme développée à la manière de l'expression (2.49).

Remarques 3.5.

- L'expression donnée ci-dessus de l'élément linéaire s'appelle forme quadratique fondamentale de la surface considérée (cfr expression 2.49). Les coefficients E, F, G sont des fonctions des coordonnées curvilignes. De manière générale cette surface, considérée comme un espace à deux dimensions, constituera un exemple d'espace de Riemann, pour des coordonnées curvilignes arbitraires.

- Les différents espaces de Riemann constituent ce que nous appelons sous une forme générale une variété munie d'une métrique riemannienne.

Définition 3.3.

Les variétés sont des espaces topologiques qui sont localement comme Rⁿ (notre espace par exemple..).

Définitions 3.4.

Une variété topologique de dimension n est un espace de Hausdorff (espace séparé¹) M tel que pour tout p ? M il existe un voisinage ouvert U ? M avec p ? U, un voisinage

' n

ouvert U ? Ret un homéomorphisme :

? : U ?U (3.18.)

'

Définition 3.5.

Un homéomorphisme entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continu.

Remarque 3.6.

Parmi les variétés les plus simples figurent les courbes et surfaces du plan et de l'espace euclidien.

Exemples 3.2.

- Une variété peut être définie (non formellement), par exemple, par un ensemble de points situés dans un espace préexistant.

¹ Un espace topologique est dit séparé si, pour tous points x,y de cet espace, il existe un voisinage U de x et un voisinage V de y tels que U nV = { }.

- De manière générale une surface donne l'idée d'une variété à deux dimensions. La sphère et le tore sont des variétés à deux dimensions sans frontière.

- Un cylindre de révolution, un paraboloïde hyperbolique, sont des variétés à deux dimensions ouvertes, avec frontières à l'infini.

- Nous pouvons aussi envisager des variétés abstraites. C'est le cas par exemple d'un espace de configuration. Il s'agit alors d'un espace de points à n dimensions représenté par un ensemble ⁱ

q (ou noté ⁱ

u ) de coordonnées généralisées, ces dernières pouvant avoir des valeurs comprises dans un domaine fini ou non.

Nous pouvons maintenant mieux définir ce qu'est un espace de Riemann. Definition 3.6.

Un espace de Riemann est une variété à laquelle nous avons attaché une métrique. Cela signifie que, dans chaque partie de la variété, représentée analytiquement au moyen d'un système de coordonnées , nous nous sommes donnés une forme différentielle quadratique : ds = g _ij du du

2 i j (3.19.)

qui constitue la métrique de l'espace.

Dans les notions sur le calcul tensoriel, il est démontré que les coefficients g_ij ne sont pas entièrement arbitraires et doivent vérifier les conditions suivantes :

- Les composantes sont symétriques g ij = g_ji .

- Le déterminant de la matrice [ g_ij est différent de zéro.

- La forme différentielle de l'élément linéaire, et par conséquent le concept de distance défini par les g_ij , est invariante vis-à-vis de tout changement de coordonnées.

- Toutes les dérivées partielles d'ordre deux des g_ij existent et sont continues donc de classe ²

C .

Definition 3.7.

Un espace de Riemann est donc un espace de points, chacun étant repéré par un système de n coordonnées ⁱ

u , doté d'une métrique quelconque telle que la forme différentielle de l'élément linéaire vérifiant les conditions précédentes. Cette métrique est dite dès lors métrique riemannienne.

Remarques 3.7.

i j

- Si la métrique est définie positive, c'est-à-dire si g _ij v v > 0 pour tout vecteur v non

nul, nous disons que l'espace est proprement riemannien. Dans ce cas, le déterminant de la
matrice [ g_ij est strictement positif et toutes les valeurs propres de la matrice [ g_ij sont

strictement positives.

- Par définition, nous disons qu'une métrique d'un espace est euclidienne lorsque tout tenseur fondamental de cet espace peut être ramené, par un changement approprié de coordonnées, à une forme telle que la base orthonormée canonique : g ij = g_ji .

- Les espaces de Riemann à courbure variable comprennent comme cas particuliers les espaces euclidiens, de dimension quelconque, mais de courbure nulle, les espaces hyperboliques de Lobatchevski, de courbure négative constante et les espaces elliptiques de courbure constante positive. Riemann en signale d'un mot l'existence, ce qui a fait donner parfois le nom de géométrie de Riemann à la géométrie elliptique élémentaire¹.