La théorie de la gravité quantique de Bohm dans l'approximation linéaire du champ

I.6 CONCLUSION DU CHAPITRE I

Bien que rencontrant des succès, la théorie quantique de BOHM de la gravitation se heurte également à des difficultés .La plus importante est le fait qu'elle ignore complètement la

covariance générale²⁶.

Etant muni de tous ces rappels nécessaires pour la suite, nous nous engageons à appliquer la théorie de la gravité quantique de BOHM dans l'approximation linéaire du champ gravitationnel, comme nous avons eu à le faire pour les autres théories de la gravitation²⁷.

²⁶ Alors que c'est l'un des piliers fondamentaux des théories métriques de la gravitation (La relativité générale d'EINSTEIN en occurrence, et certaines autres approches quantiques de la gravitation.

²⁷ Théories de NEWTON et celle d'El NSTEl N

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CHAPITRE II La théorie de la gravité quantique de BOHM dans

l'approximation linéaire du champ gravitationnel [1]

Dans ce cadre, la métrique de l'espace -- temps est développée dans l'espace -- temps plat de MINKOWSKI²⁸.

On ne considère que les termes linéaires en . La densité de LAGRANGE²⁹ pour un

champ gravitationnel linéaire s'écrit :

(II.1)

Ici sont les composantes respectivement covariantes et contravariantes du champ

classique gravitationnel. Pour simplifier, selon la relation (I.24), introduisons comme suit :

(II.2)

Ce qui signifie d'après (I.24), que la jauge harmonique s'écrira :

?

(II.3)

Définissons le moment canonique ³⁰; on sait que dans le formalisme classique du

Lagrangien on a au regard de (I.17) on aura :

28 Comme d'après la relation (I.22).

²⁹ Celle dont on a parlée dans le paragraphe I.2.2°).

³⁰ Communément appelé impulsion ou quantité de mouvement.

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(II.4)

Or l'énergie potentielle est donnée par :

(II.5)

Et la densité du Hamiltonien :

(II.6)

La transition A la théorie quantique peut être réalisée par le principe de correspondance suivant le schéma de quantisation canonique³¹ de DIRAC :

(II.7)

Or l'équation d'évolution de SHCRÖDINGER est :

(II.8)

Où est la fonctionnelle d'onde. L'interprétation de BOHM de cette équation d'onde peut être réalisée en prenant comme A la relation (I.32) ; ce qui mène A la deuxième équation de (I.33), , on a la correspondance :

(II.9)

31

Dans le principe de correspondance on utilise généralement ó or suivant le schéma de quantisation de DIRAC on utilise ä.

dans l'approximation linéaire du champ

Et ici V a la valeur de la relation (II.5). Ce conduit à la relation suivante :
			(II.10)
	? )

Et la première équation de (I.33) qui est celle de continuité³² on obtient :

(II.11)

avec Q' le potentiel quantique de BOHM :

							(II.12)
Les trajectoires de BOHM s'obtiennent à partir de la relation (I.34) :
	01W _ OS ?							(II.13)

Bien évidemment l'invariance générale de la transformation des coordonnées du champ gravitationnel linéaire est garantie par la jauge harmonique (II.3). L'équation de champ peut etre dérivée en prenant la variation de l'équation d'HAMILTON -- JACOBI modifiée (II.10) selon

et on aboutit à la relation suivante :

(II.14)

³² Selon (II.8) , ce qui permet d'écrire que

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