La théorie de la gravité quantique de Bohm dans l'approximation linéaire du champ

I.5.2 Mécanique bohmienne

Selon David BOHM, la description du mouvement d'un système de n particules définies ensemble par la fonction d'onde ø dudit système avec sa configuration

sont les positions de ces particules .La fonction d'onde, qui évolue

²⁰ Paragraphe I.3.1°)

²¹ Voir bibliographie [1]

²² Voir bibliographie [1]

dat564approximatioCAéEIreBSu chCEm S

k

selon l'équation non stationnaire de SCHRÖDINGER :

(I.27)

(où est le Hamiltonien du système) représente le mouvement des particules qui évoluent dans la plus simple des manières possibles selon l'équation différentielle ordinaire de premier ordre :

(I.28)

Où le second membre²³ est régénéré par la fonction d'onde. En considérant la simplicité et la symétrie de l'espace -- temps, on détermine alors la forme , donnant ainsi la définition des équations²⁴ de la mécanique de BOHM :

(I.29) et l'équation (I.27) où le Hamiltonien usuel contient comme paramètres les masses

des particules aussi bien que la fonction énergie potentielle V du système .Les équations (I.27) et (I.29) forment une spécification de la théorie sans besoin d'autres axiomes.

I.5.3 Gravité quantique de BOHM

La transition de la mécanique quantique à celle de BOHM est très simple sinon triviale : On incorpore simplement l'actuelle configuration dans la théorie comme variable de base et on stipule qu'elle évolue dans un cadre naturel suggéré par la symétrie et par l'équation de SCHRÖDINGER. Le champ de vitesse est en fait, relié à la probabilité quantique courante

par :

²³ C'est - à - dire le champ de vecteur vitesse sur la configuration de l'espace

²⁴ Voir Bibliographie [4].

at564EESERIVEORCAPEILIBSKAICEP S

suggérant, quand

satisfait l'équation de continuité avec , que les

prédictions empiriques de la mécanique de BOHM , pour les positions et ultimement en fait , pour d'autres « observables » , agrée avec celles de la mécanique quantique.

Pour comprendre comment la théorie de la gravité quantique de BOHM fonctionne,

A h

revenons à l'équation de SCHRÖDINGER (I.27) ; en exprimant par on

obtient :

(I.31) Si on décompose²⁵ la fonction d'onde en sa norme et sa phase :

(I.32)

ici R est la norme de obtient le système :					,remplaçons (I.32) dans (I.31), on
	h V			(I.33)

On posera pour la suite comme étant le potentiel quantique de BOHM. La

?

première équation de (I.33) est l'équation de continuité provenant du fait qu'on adopte que la

m

relation classique donne la trajectoire de la particule :

(I.34)

²⁵ Voir paragraphe I.2.4°).

dans l'approximation linéaire du champ

La deuxième équation de (I.33) est l'équation d' HAMILTON -- JACOBI modifiée. Prenons le gradient de cette dernière on aura :

(I.35) Or d'après (I.34) on aura :

(I.36)

On obtient ainsi l'équation du mouvement de NEWTON. Ainsi l'interprétation de BOHM s'énonce comme suit :

«Pour quantiser n'importe quel syst~me classique, on ajoute un potentiel quantique à l'équation classique de HAMILTON -- JACOBI ; le potentiel quantique est donnée en terme de la densité d'un ensemble hypothétique du syst~me (R²) et alors on doit ajouter l'équation de continuité pour avoir un systqme d'équations adéquats. »

dEns Bl'EpprRxiPEtiRn BlinéEire Bdu BAhEPp