Decomposition regionale du bien-ëtre social au cameroun pendant et apres les ajustements structurels: une application de la fonction de bien-ëtre social generalisee

5. 2. 2. La fonction de bien-être social généralisée

La FBS de Sen peut aisément être modifiée pour en faire une fonction plus générale et plus flexible : telle la classe de fonction de bien-être social généralisée (FBS généralisée) présentée comme :

(9) W = u^b (1- G) avec 0 < 13 <1

Cette fonction, avec la variable 13 qui représente le coefficient d'arbitrage entre équité et efficacité, a un certain nombre d'avantages que la FBS de Sen ne possède pas. Pour cette fonction :

(10) dG = ₍1 - G₎₍₃

du u

Il est clair ici qu'on peut faire le choix de 13 et ainsi la FBS est maintenant flexible, en respectant un certain arbitrage entre l'efficacité et l'égalité. Si l'on accorde donc plus

d'importance à l'efficacité plutôt qu'à l'égalité on doit choisir un 13 plus grand et tendant vers 1, au contraire si l'on s'intéresse à l'équité il faut un 13 faible.

Examinons maintenant si cette fonction est parétienne ou pas. De l'équation (5) et (9), nous savons que la FBS est parétienne si :

0(u (1- G)) (11) > 0 xi

Ce qui implique

2i - n -1

(12) b -bG+ G > .quel que soit i= 1, 2, ....., n

n

Cette expression est toujours vraie lorsque l'on considère les revenus, des plus faibles aux revenus médians, comme le terme de gauche de l'équation (12) est toujours positif. Connaissant le niveau existant d'inégalité dans la société, par la variation de la valeur de 13 on peut aisément déterminer la direction du changement du bien-être social lorsqu'une personne au dessus de la médiane gagne un revenu supplémentaire (toute chose restant égale par ailleurs). Si la condition de paretianité est satisfaite pour les plus riches elle le sera pour les autres ; ainsi en utilisant la valeur maximale de i dans (12) nous avons :

(13) b -b G + G > n -1

n

Pour un n de grande taille on aura :

(14) b -bG+G~1

La condition (14), ne sera jamais satisfaite pour une valeur de 13<1 ainsi cette FBS est Parétienne pour de grande valeur de 13, pour lesquelles cette FBS deviendra une FBS de Sen. Il est évident à partir de la condition (14) que si c'est seulement les groupes les plus riches qui profitent des fruits de la croissance, le bien-être social de la société ne s'améliorera pas tant que 13<1. Cette FBS peut être critiquée pour son parti pris en faveur des pauvres. S'il s'agit plutôt d'une augmentation du revenu des pauvres quelque soit la valeur de 13 et G (dans notre cas spécifique c'est entre 0 et 1), le bien-être va s'améliorer. Ainsi cette FBS a un certain parfum Rawlsien. Cependant pour la FBS de Rawls si les personnes les plus riches ont une augmentation de revenu le bien-être reste inchangé, mais pour notre FBS avec 13<1 une

augmentation du revenu des plus nantis entraîne une réduction du bien-être social. Cette classe de FBS avec f3<1 n'est donc ni parétienne ni rawlsienne.

5. 3. Décomposition de la FBS généralisée par sous-groupes de la

population

Il est bien connu que le coefficient de Gini ne peut pas exactement¹⁴ être décomposé en sous-groupes de population en termes d'intra groupe et d'inter groupe de Gini comme les autres indices d'inégalité, notamment l'indice de Theil et d'Atkinson. Cependant il peut être décomposé de manière différente en utilisant la méthode de Podder (Podder ,1993). Pour montrer que cette méthode de Podder permet de décomposer la FBS généralisée en sous- groupes de population, nous essayerons de représenter le bien-être total comme une somme pondérée du bien-être individuel de groupes variés. Ainsi notre objectif est de décomposer le bien-être total W comme :

g

(15) i

W å

= W _iW i=1

où Wi est le bien être du ième sous-groupe et Ùi est le poids attaché au bien-être individuel du groupe en supposant que l'on a g sous-groupes.

En appliquant la méthode de Podder le coefficient de Gini peut être décomposé en sous-groupes de population. Cette méthode, pas très répandue peut être expliquée très brièvement comme suit : considérons une société constituée de cinq personnes dont les revenus sont rangés selon un ordre croissant dans un vecteur Y = [y1, y2, y3, y4, y5]. Aussi supposons que la société en question est constituée de deux sous-groupes tel que le premier sous-groupe a deux membres dont les revenus sont représentés par le second et le troisième élément du vecteur de revenu. Les éléments restants sont les revenus des trois membres du second groupe. Nous pouvons maintenant construire deux vecteurs, un par groupe, et chacun de ces groupes sera constitué de cinq éléments. Le vecteur du premier groupe contiendra les revenus de ses membres placées à leurs positions respectives dans Y, et les positons restantes seront complétées par zéro. Un vecteur similaire peut être construit pour le second groupe également. Ainsi :

¹⁴ Dans le cas ou les sous groupes se chevauchent entre eux, il n'est pas possible de décomposer exactement l'indice de Gini en sous groupe, dans la mesure ou cette décomposition admet un résidu.

é0 ù ê y ( 1 ) ú

ê ² ú

y et

( 1 ) y ( 1 )

= ê ú

3

ê ú

ê 0 ú

_êê _úú

ë ⁰ j

é y ( 2 ) ù
1

ê ú

ê ⁰ ú

y par conséquent, Y = y ( 1 ) + y ( 2 )

( 2 ) 0

= ê ú

ê ú

(2)

ê y ú

4

(2)

_êê _úú

ë y5 j

En appliquant donc cette méthode le coefficient de Gini peut être décomposé en sous- groupe de population comme :

g

(16) = å

G

i

nii C

'u

)

i

n 'u

(

Ou c_i est le coefficient de concentration (défini selon Podder ,1993) du groupe i, n_i est la
taille de la population du groupe i et 'u_i est le revenu moyen de ce groupe. n et u sont

respectivement la taille et le revenu moyen de la population entière. Comme le coefficient concentration est compris dans l'intervalle (-1 ; 1) et satisfait à la condition de Pigou- Dalton¹⁵ de transfert progressif de revenu d'une personne moins pauvre à une personne pauvre, il sert d'indicateur d'inégalité dans ce groupe, ainsi nous écrivons :

(17) W='u^b(1-G)

g

= - å

'u (1

b

i

n 'u

i i C

i )

n 'u

^g n

C i

= å -

n

'u

'u b

b i i

'u

- 1

i

g

= å -

n b

i i 'u

'u

i

g

i i

'u

CComme å =

n

ⁱn'u

i

^g n

å -

i i

'u

1

b

1

n'un 'u

i

C _i )

^g 'u

= å ⁿ (1

i i

1 b

n 'u

i

-

g

=å új [ - ]

é -

n ( ) 1 b ^b (1 )

ù

i ⁱ 'u C

'u

i i

êë n 'u

i

¹⁵ La sensibilité de transfert de Pigou- Dalton est un critère qui est réalisé lorsqu'un transfert de revenu d'une personne moins pauvre à une personne pauvre, entraîne une baisse dans la mesure de l'inégalité sans contrarier la direction des richesses.

g

= åW iWi

i

On a donc - b

W = 1

i , est le poids attaché au sous-groupe i et W i = p i b (1 - C _i )

n i i

p

( )

n p

est le bien-être du groupe i. Il est clair que si 0<f3<1, le poids ne sera jamais supérieur à 1. Pour f3=1 (i-e pour une FBS de Sen), cette même forme de décomposition établit une relation du bien-être total comme une somme pondérée du bien-être individuel des sous-groupes (Podder et Mukhopadhaya, 1995,1999). Le poids dépendant de la part de population du sous- groupe, du revenu moyen proportionnel du groupe et de la valeur de f3, quand la valeur de f3 augmente, l'importance du revenu moyen proportionnel diminue dans le poids. On a donc

)

én i i

( ) ¹ (1 )

p - b b

ù úû -

[ ]

p C

i i

W êL n p n p 1 - C

i W i

(18) = = ( )(

i i i

Wp G

^b (1 )

- n p 1 - G

Cette expression représente la part relative de bien-être de chaque sous- groupe. Cette part dépend de la part de revenu de ce sous-groupe et du coefficient de concentration de ce sous-groupe. Dans cette part, le coefficient f3 n'a aucun rôle à jouer. La raison est très évidente; en fait le paramètre f3 sert de coefficient d'arbitrage entre équité et efficacité. Quand notre intérêt est de trouver la contribution relative d'un sous-ensemble de la population au bien-être total, la question d'arbitrage entre efficacité et équité ne se pose plus. Le dernier terme entre parenthèse à droite de l'équation c'est-à-dire :

1 C_i

1 G

a une interprétation intéressante : nous l'appelons équité relative du groupe i. Il est connu que si le coefficient de concentration d'un sous-groupe est supérieur (inférieur) à l'indice global de Gini ce sous- groupe a un effet positif (négatif) sur l'inégalité¹⁶. Ainsi, si la valeur de l'équité relative est supérieure (inférieure) à 1, le ième sous-groupe aura tendance à réduire (augmenter) l'inégalité. Par conséquent, la part relative de bien-être total de tout sous-groupe peut changer à tout moment du fait de 2 facteurs :

a) sa part de revenu et,

b) son équité relative.

¹⁶ Un franc supplémentaire dans ce groupe augmente (réduit) le niveau d'inégalité.

La contribution relative du bien-être a une autre interprétation très intéressante. Il est aussi possible d'obtenir l'élasticité de la fonction de bien-être social par rapport à l'équité d'un groupe sans changer son revenu moyen. Cette élasticité du ième sous- groupe peut être définie comme :

(19)

aW 1-C_i n_i p_i 1- C_i h 1 W =

_

- CI a(1- C_i) W n p 1-G

Ceci n'est rien d'autre que la part relative de bien-être du ième sous-groupe. Par conséquent une autre interprétation de la part relative de bien-être de tout sous-groupe est l'élasticité du bien-être par rapport à l'équité de ce sous-groupe.

Comme notre objectif est toujours de trouver le groupe cible pour une politique donnée, il est très intéressant d'obtenir l'élasticité du bien-être par rapport à un changement proportionnel du revenu du sous-groupe sans modification de la distribution du revenu. Cette élasticité est donnée par :

W p_i

(20) h =

W

^pi W

)

=

pi ni (b -1) p_in_i(1- C_i +

p

n

pn(1-G

Ainsi la part relative de bien-être du sous-groupe i est égale à l'élasticité du bien-être par rapport au revenu moyen de ce sous-groupe si 13= 1 (parce que le premier terme de droite disparaît pour 13=1); si 0< 13<1, cette élasticité est inférieur à la part relative de bien-être (comme dans ce cas le premier terme de droite est négatif). Ainsi pour une augmentation proportionnelle du revenu, le sous-groupe au plus grand revenu a plus d'effet réducteur que le sous-groupe au faible revenu. C'est ici que se trouve la beauté de cette FBS, le décideur en considérant cette élasticité pour des prescriptions de politique pourra être à mesure de choisir le groupe cible. De l'équation (18) et (20), il est évident que le groupe cible sera cette partie de la population pour laquelle la part relative de bien-être et l'élasticité par rapport au revenu moyen seront les plus élevées. Et celles-ci sont élevées pour les groupes dont l'équité relative est élevée et une part relative de revenu assez substantielle. D'où, pour des propositions de politiques deux facteurs très importants sont l'équité relative et la part de revenu.