Modélisation hydraulique et de la qualité d'eau dans les réseaux d'adduction d'eau potable par EPANET

I-3-1/ Principe de l'approche hybride noeud-maille

C'est la méthode de résolution utilisée par le logiciel EPANET2 pour résoudre les équations de perte de charge et de conservation de la masse, qui caractérisent l'état hydraulique du réseau à un instant donné. Elle est développée par Todini et Pilati en 1978 (Rossman, 2000). Ci-après un extrait du manuel d'utilisation d'EPANET2 où la méthode sus-indiqué est explicitée.

Cette méthode commence par une estimation initiale des débits dans chaque conduite, qui peut ne pas répondre à l'équation de continuité au noeud (éq. I.1). À chaque itération de cette méthode, des nouvelles charges aux noeuds sont générés en résolvant l'équation matricielle suivante:

AH=F (I.8)

dans laquelle A est une matrice Jacobienne (NxN), H est un vecteur (Nx1) représentant les charges inconnues aux noeuds et F un vecteur (Nx1) contenant les termes du côté droit.

Les éléments diagonaux de la matrice Jacobienne sont:

A = ? P (I.9)

ii iJ

J

Tandis que les éléments non-nuls, qui ne se trouvent pas sur la diagonale s'expriment de la manière suivante:

A iJ = - P iJ (I.10)

avec _pij l'inverse de la dérivée de la perte de charge dans une conduite, une pompe ou une singularité (vanne , clapet...), appelées aussi "arc", entre les noeuds i et j, en respectant le débit.

Pour les conduites :

1

p ij n

= - 1

ij

nr Qm Q

ij ij ij

+ 2

(I.11)

Pour les pompes fonctionnant à leurs régimes nominal:

1

1

(I.12)

p = nr Q -

ij n

( )

ij

5

Tous les termes du côté droit sont dus au déséquilibre de flux en un noeud et à un facteur de correction:

? ? F Q D y p H i ij i ij if f = ? - ? + + ? ? ? ? ? j j f

(I.13)

Le dernier terme de l'expression s'applique à tous les tronçons qui relient le noeud i à un noeud de hauteur fixe f. Le facteur de correction _yij s'exprime ainsi:

y ij = p _ij r _ij Q _ij + m Q ij Q ij (I.14)

( ² ) sgn( )

n

Pour les conduites, avec sgn(x) égal à 1 si x > 0 et à -1, autrement , et:

y ij = - p _ij h - r Q ij (I.15)

( 0 ( ) )

n

Pour les pompes _Qij est toujours positif.

Après avoir trouvé les nouvelles charges en résolvant les équations (I.8), les nouveaux débits s'obtiennent en résolvant l'équation suivante:

Q ij = Q ij - (y_ij - p _ij (H i - H_j)) (I.16)

Si la somme des variations absolues de débits dans tous les tronçons, divisée par la somme de tous les débits dans tous les tronçons est supérieure à la tolérance préétablie (par exemple, 0,001), les équations (I.8) et (I.16) et sont recalculées.