Approche statistique sur l'étude des rendements financiers et applications.

2.1.2 Exemples de processus AR(p)

Exemple 2.1.2.1 (Processus stationnaire) Soit Xt le processus AR(1) dit de Markov définit par :

2 Xt = 5

Xt_1 + Et.

Puisque Xt_1 = LXt donc on a Xt(1 - ²₅L) = Et

le polynome caracteristique du processus est donc P(z)=1 - ²₅z , qui a pour racine z = 52 . Or |z| > 1 , donc le processus de Markov est bien un processus stationnaire.

Exemple 2.1.2.2 (Processus non stationnaire) On se donne Xt le processus AR(1) définit par :

Xt = Xt_1 + Et.

On a Xt_1 = LXt ce qui donne Xt(1 - L) = Et

le polynome caracteristique du processus est donc P(z) = 1 - z, qui a pour racine z = 1 . De |z| = 1, on en déduit que notre processus est donc non stationnaire.

Considérons maintenant le processus AR(3) définit par :

Zt = 3Zt_1 4

3

Zt_2 + 4

11

Zt_3 + Et

La première étape sera encore d'exprimer cette équation en utilisant l'opérateur retard L et en factorisant par Zt

11

Zt = 3LZt 4

L²Zt + ³₄L³Zt + Et

16

11

(1-3L+ ₄ L²-³ ₄L³)Zt=Et.

17

L'équation caractéristique est donc

11

1 - 3z + 4 z2 - 3 ₄z³ = 0

Une factorisation de l'équation précédente donne :

3 1

(1 - z)(1 - ₂z)(1 - ₂z) = 0.

Ainsi les racines d'une telle équations sont z1 = 1, z2 = ²₃, z3 = 2.

Or la racine z2 = 2 est en dehors du cercle unité car |z2| > 1, ce qui implique la non stationnarité du processus Zt.

NB : la série de rendement est un processus autoregressif AR(p) où p est la taille de l'échantillon. On l'appelle l'ordre du processus