2.1 Définitions et modélisation
En statistique, toute tentative de modélisation se fait
en introduisant la notion de variable aléatoire. L'approche statistique
des rendements d'un actif financier se déroule en plusieurs phases qui
englobent chacune en soi un processus. Aussi de l'appréciation, de
l'évolution de ces rendements à l'estimation, nous aurons
à étaler plusieurs aspects à la fois statistiques et
financiers.
2.1.1 Notion de processus stochastique
L'approche statistique d'une série de rendement
consiste a` mettre en place un modéle statistique qui
considère chaque observation xt pour t=1,. .. ,T
comme la réalisation d'une variable aléatoire
Xt(w) , telle que
Xt : (Ù , F , P) -+ (R , B(R))
où B( R) est la tribu des Boréliens de R et ( ,
F , P) est un espace probabilisé. Dans la pratique Xt
représente le prix et le rendement se modélise comme
étant une variable aléatoire St définies par :
St : (Ù , F, P) -+ (R , B(R))
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Définition 2.1.1.1 (Processus stochastique)
Un processus stochastique est une famille de variables
aléatoires (Xt) indéxée par un ensemble T, en
général infini, à valeurs dans un espace mesurable (E,
5).
Un élément de T sera appelé
un temps ou une date.
Pour une valeur de w fixée dans I, la fonction qui
associe à chaque date t la réalisation Xt(w) est la trajectoire
du processus au point w. De même, pour une date t fixée dans
T, la fonction qui associe à chaque w la réalisation
Xt(w) est l'état du processus à la date t.
(Xt) et (St) définissent dans la section 2.1.1 sont
des processus stochastiques.
Définition 2.1.1.2 (Processus
autorégressif) Un processus stochastique (Xt) est dit
autorégressif d'ordre p, noté AR(p) s'il est défini, pour
p t par la relation de récurrence
Xt = 1Xt_1 +
ç2Xt_2 + ... +
çbpXt_p + Et
(2.1)
V t E Z
où les variables aléatoires X0,
X1, . . . , Xp_1 sont fixées
arbitrairement. Les valeurs çbi pour i=1,. . .,p sont les
paramètres de ce processus AR(p), tandis que (Et) est un bruit blanc
associé à (Xt), c'est à dire une suite de variables
aléatoires indépendantes et de même loi centrées et
de carré intégrable. Le polynôme A(X) =
1-çb1X -. .
.-çbpXp définit le polynôme
caractéristique du processus.
Définition 2.1.1.3 (Processus stationnaire)
Un processus autorégressif (Xt) est asymptotiquement
stationnaire si et seulement si son polynôme caractéristique a
toutes ses racines à l'exterieur du disque unité.
Définition 2.1.1.4 Un processus (Xt)
est stationnaire au second ordre si i) pour t, E(X2 t
) < +00,
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ii)pour tout t, E(Xt) = u, constante
indépendante de t,
iii)pour tout t et pour tout h, cov(Xt, Xt+h)=E([Xt
- u][Xt+h - u]) = ã(h), est indépendant de
t
Définition 2.1.1.5 La fonction
ã(.) sera appelée fonction d'autocovariance.
On peut montrer aisément que ã(.) est une
fonction paire, au sens où ã(h)=ã(-h)
Définition 2.1.1.6 (Corrélation)
Etant donnés deux processus (Xt, t E T) et (Yt, t
E T)) avec t E T et t + h E T.(T est
l'espace des temps).
La corrélation est définie par
Cov(Xt, Yt+h)
Xt)ó
Yt
(
(
+h
ãh(Xt, Yt+h) = (2.2)
ó
oú ó(Xt) et ó(Yt) sont les
écart-types respectifs des processus Xt, Yt et
ó(Xt)ó(Yt+h) 0.
Définition 2.1.1.7 (fonction
d'autocorrélation) On se donne un processus stationnaire
(Xt, t E T). On définit le coefficient d'autocorrélation
ou fonction d'autocorrélation par
Cov(Xt, Xt+h)
h 7? ãX(h) = ó(Xt)ó(Xt+h)
.(2.3)
La fonction ãX prend ses valeurs dans [-1; 1]
et on a aussi ãX(0) = 1
Définition 2.1.1.8 (Autocorrélogramme)
La matrice d'autocorrélation ou matrice de Toeplitz du
vecteur (Xt, Xt+1, ... , Xt+h) est définie par
:
1 ã(1) ··· ã(h -
1)
ã(1) ... ... ...
ã(1)
ã(h - 1) ···
ã(1) 1
????????
? ???????
...
...
. ..
A(h) =
| 
