2.2 Utilisation des modèles de régression
linéaire
On dispose d'une suite d'observations (X1,
X2, ... , Xp) de prix d'actif financier. A partir de
ces observations, on définit l'echantillon de rendement
(R1, R2, ... , Rp). Puisque la
série de rendement (Rt) est un processus auto-régressif
d'odre p donc elle peut se mettre sous la forme :
Rt = '1Rt-1 +
ç2Rt-2 + ... +
OpRt-p + Et, Vt E Z (2.4)
V t E Z L'équation (2.1) est equivalent à
l'écriture :
A(L)Rt = Et oú
A(L) = 1 - çb1L - ... -
çpLp
Prédire ou expliquer les valeurs de Rt á
partir des valeurs de Rt-1, Rt-2, ... , R1 et
(Et) est le terme d'erreur ou encore résidus du modèle
ou encore bruit blanc : Et ti N (0,u2) c'est
à dire une loi normale, elle résume tout ce que le modéle
n'explique pas.Les (Et) sont indépendantes.
- Rt est dite "variable endogène", c'est la
variable dont on essaie de prédire les valeurs (variable
expliquée) ;
- Rt-1, Rt-2, ... , R1 sont les " variables
exogènes ", ce sont les variables qui servent à prédire
les valeurs de Rt (variables explicatives).
- Les çi pour i=1, ... , p
sont les paramètres positifs ou négatifs à estimer
Les variables de Rt-i, pour i=1 , ... ,
p sont donc connues (ou mesurées rapidement, facilement) elles
servent à prédire les valeurs des Rt qui sont inconnues
(ou connues avec retard).
La régression linéaire multiple utilise deux
méthodes de résolution :
- La connaissance des coefficients de corrélations
linéaire simple de toutes les paires de variables entre elles, de la
moyenne arithmétique et des écarts-types de toutes les
variables.
- La seconde repose sur des calculs matriciels.
Nous nous intéresserons de cette dernière
méthode de résolution dans la suite. Ecrivons l'équation
(2.1) sous la forme matricielle. Pour t = p+ 1 , ... , n on a
:
Rp+1 = O1Rp + 02Rp-1 + ... + OpR1 +
Ep+1 Rp+2 = ç2Rp-1 + ç3Rp-2 + . . . +
çpR2 + Ep+2 Rn = ç1Rn-1 + 02Rn-2
+ . . . + OpRn-p + En
???????
Rp+1
Rp+2
...
Rn
? ??????
Posons :
Y = R(p+1):n =
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un vecteur de (n - p) rendements.
02
...
0p
01
Ö=
???????
???????
Ep+1
Ep+2
...
???????
En
???????
01
02
0n
u2
???????????
...
???????????
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un vecteur de p nombres réels.
E = E(p+1):n =
un vecteur de (n - p) termes d'erreur E
ti N (0,cr2T[).
Donc en regroupant les (n - p) on obtient
l'expression du modèle linéaire suivante :
Y = RÖ + E (2.5)
où R est la matrice de rendements de
taille (n - p) * p définie par :
R = ???????
???????
Rp Rp-1 ··· R1
Rp+1 Rp ···
R2
...
...
. ..
Rn-1 Rn-2 · · ·
Rn-p
Les paramètres à estimer sont le vecteur Ö
et la variance ci2 du bruit blanc E, Autrement dit
le vecteur défini ci-dessous :
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Pour ce faire différentes méthodes ont
été proposées.
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