2.4 Treillis des concepts et treillis de Galois
Une structure mathématique permettant de
représenter les classes non disjointes sous jacentes à un
ensemble d'objets (exemples, instances, tuples ou
observations) décrits à partir d'un ensemble d'attributs
(propriétés, descripteurs ou items), les
treillis de concepts formels (ou treillis de Galois) permet
d'organiser l'information concernant des classes d'objets possédant des
propriétés communes. Ces classes non
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TABLE 2.3 - Exemple de contexte
disjointes sont aussi appelées concepts
formels, hyper-rectangles ou ensembles
fer-més[1].
2.4.1 Treillis des concepts
En analyse de données, l'analyse formelle des concepts
pose le treillis des concepts comme espace de recherche sous-jacent
à des données qui s'organisent sous forme d'un table binaire
objets × attributs encore appélé contexte. Le
treillis de concepts et un treillis dont les noeuds, appelés
concepts sont composés à la fois d'un ensemble d'objets
et un ensemble d'attributs.[11]
Définition 25 (Treillis des concepts)
Le treillis des concepts se définit pour une
relation binaire R entre un ensemble O d'objets et un
ensemble I d'attributs, encore appelés contexte[1]. Le
treillis des concepts d'un contexte (O, I, R) est une paire
(C, ) où :
- C est un ensemble de concepts définit sur
P(O) × P(I) par :
(A,B) ? C ? A ? O,B ? I,B =
á(A) et A = â(B)
avec
á(A) = {b ? I, aRb pour
touta ? A}
â(B) = {a ? O, aRb pour
toutb ? B}
- est une relation binaire définie sur l'ensemble des
concepts C par, pour (A1,B1) et (A2,B2) ? C :
(A1, B1)(A2, B2) ? B1 ? B2 ? A1
? A2 (2.13)
Lorsque le contexte est représenté sous forme
d'une table, un concept correspond à un rectangle maximal, ou encore
à une sous matrice première. Un contexte pourra être
noté par (O, I, R) ou encore par (O, I, (á,
â)) selon que l'on considère la relation binaire R
entre O et I, ou, de façon équivalente,
les deux applications á et â, l'une de O
vers I, l'autre dans le sens contraire.[1][5]
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FIGURE 2.5 - Treillis des concepts du contexte de la table 2.3
Exemple 5 :
Considérons comme exemple le contexte décrit
par la table 2.3 définie par un ensemble d'objets {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9} et un ensemble d'attributs {a, b, c, d, e, f, g, h},
ainsi que son treillis des concepts donné par la figure 2.6.[1] On
constate que :
- L'objet numéro 9 possède tous les
attributs, et par conséquent il apparaît dans tous les
concepts;
- L'attibut g est partagé par tous les objets, il
apparaît, ipso facto, dans tous les concepts;
- L'attribut h, quant à lui, est partagé
par seulement 3, 4, 5 et 9,
c'est-à-dire par les objets possédant à la fois l'attribut
e et f. Par conséquent l'attribut h n'apparaît que dans les
concepts contenant à la fois l'attribut e et f.
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