2.3 Treillis de fermés et système de
fermeture
Comme la notion de treillis, les familles de Moore, dites aussi
systèmes de fer-
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Soit S un ensemble stable. Une famille de Moore
est une famille de parties fermées de l'ensemble S stable
par intersection et contenant l'ensemble lui-même. Elle est aussi
définie comme étant une partie de l'ensemble de parties de S
vérifiant certaines propriétés(cf définition
8)[1].
2.3.1 Treillis de fermés
Toute famille F E P(S) munie de la relation
d'inclusion est ordonnée, l'inclusion étant transitive,
réflexive et antisymétrique. Il s'en suit que (F, Ç)
est un treillis. On parle alors de treillis de fermés.
Définition 23 (Treillis de fermés) :
Un treillis de fermés sur un ensemble S est
une paire (F, Ç) où F est une famille sur S
possèdant les propriétés d'une famille de Moore,
encore appelée famille de fermés[3] :
- F contient S ;
- F est stable par intersection : Pour tout
F, F' E F, on a F n F' E F
Exemple 4 :
Soit S = {a, b, c, d, e}. Alors F = {ø, a,
b, d, de, bcd, abcde} est une famille de Moore sur l'ensemble S.
Les ensembles finis, ici, sont notés comme des mots. Par exemple
»de» designe la paire {d, e}
2.3.2 Système de fermeture
La propriété principale des treillis de
fermés reside dans le lien qui les unissent au système de
fermeture.
Définition 24 (Système de fermeture) :
Un système de fermeture est une paire C =
(S, ?) où S est un ensemble et ? un
opérateur de fermeture, c'est-à-dire une application
définie sur P(S) à la fois isotone,
extensive et idempotente[3] :
- isotonie : Pour tout X, Y Ç S, X
Ç Y = ?(X) Ç ?(Y ).
- extensivité : Pour tout X Ç S,
X Ç ?(X).
- idempotence : Pour tout X Ç S,
?(?(X)) = ?(X).
Pour une partie X Ç S quelconque, ?(X)
est appelée fermeture de X ou encore un fermé
de C. L'ensemble de fermé forme une famille de Moore F
:[1]
F = {?(X) : X Ç S} (2.12)
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