Essai de modélisation de la fonction de production dans une entreprise industrielle. Cas du complexe théicole de Butuhe "CTB SPRL" de 2003 à 2008

SECTION III : NOTIONS DE PROGRAMMATION LINEAIRE35(*)

III.1 DEFINITION

La programmation linéaire est une branche de recherche opérationnelle qui facilite la résolution de certains problèmes économiques. Elle permet de définir les quantités à produire en utilisant au mieux les capacités de production tout en respectant un objet. Son utilité est, selon D. LAURE et A. CAILLAT, de faciliter le choix de production tout en respectant les contraintes techniques et les objectifs fixés par les décideurs. Il peut s'agir des objectifs de maximisation du profit ou du chiffre d'affaires, la minimisation des coûts ou du taux des rebuts, etc.

Le responsable de production doit choisir parmi tant de contraintes celles qui optimisent son objectif dans les limites des moyens mis à sa disposition.

Le problème économique étant complexe, les dirigeants d'entreprises recourent à la programmation linéaire comme outil d'aide à la décision. La notion de la programmation linéaire peut s'utiliser dans beaucoup de branches d'activités pour servir à la prise de décision. En effet, le Responsable de production, dans le cadre de ses attributions, doit chercher à déterminer la quantité optimale à produire prenant en compte certaines contraintes. Il devra ainsi mettre en place un programme qui détermine d'une part les contraintes économiques qui consistent soit à la maximisation, soit à la minimisation de la fonction de production et d'autre part, les contraintes techniques. Ce programme pris dans l'ensemble s'appelle programme linéaire.

Un programme linéaire est donc un problème dans lequel on se propose de déterminer un certain nombre d'inconnues qui sont astreintes ou imposées à être positives et non nulles, à vérifier un certain nombre d'égalités ou d'inégalités et doivent rendre la fonction linéaire maximale ou minimale suivant le cas.

III.2. PRESENTATION, FORME D'UN PROGRAMME LINEAIRE

Un programme linéaire a généralement la forme matricielle suivante :

(1) Max (CX) ou Min (CX)

(2) X>0

(3) AX><B

Ces trois équations et inéquations forment un programme linéaire qui se répartit comme suit :

(1) CX est la fonction économique à maximiser ou à minimiser

(2) X est l'inconnue contrainte à être positive puisqu'il s'agit d'une fonction de production économique. Les inconnues doivent former un certain nombre d'égalités ou inégalités.

(3) AX><B est une contrainte de ressources limitées (temps, finances, matériels, marché, ...)

Ainsi d'une manière développée, le programme linéaire s'écrit de la manière suivante :

Max [C1X1 + X2 + ... + CjXj + ... CnXn] ? Max

Min [C1X1 + X2 + ... + CjXj + ... CnXn] ? Min

a₁₁X ₁+a₁₂+...+a_1jX₂+...+a_1nX_n = b₁ ou = b₁ (1^ère contrainte)

a₂₁X₁+a₂₂+...+a_2jX₂+...+a_2nX_n = b₂ ou = b₂ (2^ème contrainte)

.

:

a_i1X₁+a_i2+...+a_ijX₂+...+a_inX_n = b_i ou = b_i (i^ème contrainte)

.

:

a_n1X₁+a_n2+...+a_njX₂+...+a_nnX_n = b_n ou b_n (n^ème contrainte)

L'espace de décision est le repère euclidien orthonormé des variables (X₁, X₂, ..., X_n). L'espace de contraintes est le repère orthonormé de dimension m dans lequel on représente les vecteurs p₀ et p_j (j=1, ..., n).

D'où nous adoptons la terminologie ci-après :

- Solution : ensemble des valeurs satisfaisant les contraintes ;

- Solution admissible : ensemble des Xi satisfaisant les contraintes de non négativité et de ressources limitées ;

- Base : ensemble de m variables X1, X2, ... Xm tel que le déterminant de la matrice a_ij soit différent de zéro ;

- Solution de base : solution qui s'obtient en annulant les (n-m) variables hors base et en résolvant le système des contraintes des ressources limitées ;

- Solution de base admissible : solution tel que Xj > 0 en passant par la solution de base ;

- Solution optimale : solution admissible qui rend minimum ou maximum la fonction économique ou qui procure le meilleur résultat.

* ³⁵ E. POLO FUETA, opcit