Memoire Online - Dynamique non lineaire et effet de l’instabilite de turing sur les systèmes cellulaires désordonnés

Lorsque le taux de croissance d'une ou de plusieurs espèces décroit tandis que le taux de croissance des autres espèces croit, on dit qu'on est en présence de prédation, c'est simplement la consommation par un prédateur d'une proie qui était vivante quand le prédateur la attaquée. Dans ce travail, nous étudions ce dernier type d'interaction. Entre cellules saines, cellules cancéreuses et la concentration en acide lactique de l'organisme

Nous considérons un système biologique de trois espèces composé de deux espèces concurrentes, la troisième espèce servant de prédateur à l'une des espèces et d'hôte à l'autre. Récemment, Gupta et Gakkhar [27] ont proposé un modèle de chaîne alimentaire à trois espèces intégrant la prédation, la compétition et le commensalisme. Les espèces W et U sont en concurrence et on suppose que, du fait de la concurrence, le taux de croissance de l'espèce est uniquement affecté. En particulier, nous considérons le modèle de Gatenby et Gawlinski [28] :

Dans ces équations les constantes sont défini précédemment. Il s'agit d'une situation typique souvent observée dans la nature dans divers chaîne alimentaires. Un diagramme schématique de ce type de modèle de chaîne alimentaire est présenté à la Fig 3.1 .

ñ2

r2 =

ñ1

ä1,2ñ3k2

, d1,2 = c =

ñ1ä3

ä3 ñ1

et D = 03

= u(1 - u - a2v) - d1uw + D1 5² u = r2v(1 - v - a1u) - d2vw + D2 5² v = c(v - w) + D3 5² w

où D1 > 0 ; D2 > 0 ; D3 > 0 sont les coefficients de diffusion des espèces u, v et w, respecti-

vement, et 5² = OX2 + OY 2 est l'opérateur laplacien et u et v les variables d'espace. Nous

étudions l'effet de la diffusion spatiale en supposant que les conditions initiales sont positives

W(-^?x , 0) > 0, V (-^?x , 0) > 0, U(-^? x , 0) > 0avec-^? x (x, y) ? S2 (3.4)

= Ox

Ow Ox

= 0 sur OS2, t > 0. (3.5)

Ici, S2 est le domaine à deux dimensions et x est le vecteur normal des unités extérieures de la frontière S2. Les conditions aux limites correspondent à un flux nul à travers la frontière qui implique que les espèces dans S2 ne peuvent pas sortir du domaine S2 et qu'une espèce extérieure ne peut pas entrer dans le domaine S2.

A0 =

? ? ? ?

F_u F_v F_w
G_u G_v G_w
H_u H_v H_w

?? ? ? E*

dans cette section, les résultats concernant l'existence, l'unicité et la délimitation de la solution du système( 3.6 )sont présentés. les fonctions d'interaction U,V et W sont continues et ont des dérivées partielles continues dans l'espace d'états . En conséquence du théorème de Nagumo, la solution du système avec des conditions initiales non négatives existe et est unique Gupta et Gakkhar ([27]) ont prouvés que la solution du système( 3.6 )est uniformément bornée. en prenant

On obtient les points d' équilibres E0 = (0, 0, 0) et E1 = (1, 0, 0) qui sont linéairement instable si a1 > 0 et stable si a1 < 0 et E3 = (0, 1/(1 + d2/r2), 1/(1 + d2/r2)) est linéairement instable si 0 < d1 < (1+d2/r2)-a2 et stable si d1 > (1+d2/r2)-a2 ainsi qu'un point d'équilibre intérieur E^* = (u^*, v^*, w^*) = (1 - (a2 + d1)v, v, v) avec v = (1 - a1)(1 - a1a2 + d2/r2 - a1d1) qui est linéairement instable si :

Du point de vue biologique, nous examinons uniquement la formation de motifs pour le modèle 3.3 autour du point intérieur E^* en supposant que u^* > 0, v^* > 0 et w^* > 0. La matrice jacobienne A0 du système 3.7 correspond à E^* comme

í1(0) = a11a22 - a12a21 - a23a32 = v^*(r2u^* - a1a2r2u^* + d2cv^*) í0(0) = a32(a11a23 - a13a21) = cw^*u^*v^*(d2 - d1r2a1)

Selon les critères de Routh-Hurwitz, le point d'équilibre intérieur du système 3.3 est stable

L'existence de la bifurcation de Hopf, de la bifurcation de Hopf généralisée, de la bifurcation de Bogdanov-Takens, etc est possible à condition que í1(0)í2(0) - í0(0) = 0. Veuillez noter que í0(0) > 0 est toujours valable.

Dans cette section, nous analysons la stabilité linéaire du système complet (3.3 )et trouvons la condition de l'instabilité de Turing (dans laquelle l'état d'équilibre constant perd sa stabilité en raison de l'effet de diffusion et l'apparition de la structure de Turing ). Nous linéarisons le système( 3.3) autour de l'état stationnaire pour les petites fluctuations dépendant de l'espace et du temps et développons les variables U, V et W dans l'espace de Fourier de la manière suivante :

??????

W(~x, t) w^* + Äw(~x, t) V (~x, t) v^* + Äv(~x, t) U(~x, t) u^* + Äu(~x, t)

(3.12)

Les perturbations Äw(x, t) ; Äv(x, t) et Äu(x, t) dépendent de l'espace et du temps et ont la forme suivante :

où C_w, C_vetC_u sont des constantes. x~ est le vecteur spatial, k est le vecteur de nombre d'onde avec k = |^~k|, ë est la fréquence des ondes et i est la notation complexe standard. En substituant les relations3.12 en (3.3 )et en négligeant les termes d'ordre supérieur, nous avons les équations suivantes :

{	?Äu	= a11Äu + a12Äv + a13Äw + D1V²Äu = a21Äu + a22Äv + a23ÄW + D2V²Äv
	?t ?Äv		(3.15)
	?t
	?Äw	= a31Äu + a32Äv + a33ÄW + D3V²Äw
	?t

En utilisant la forme spécifique de l'équation 3.14 on obtient l'équation caractéristique du

système 3.1 : |Ak - ëI| = 0 avec Ak = A0 - K²D

Où

D1 0

D= ? ? ? ?

0 D2

0 0

D3 ₁

qui est la matrice de diffusion. Le polynôme caractéristique de la matrice Aks'écrit

avec

???????????? ?

?????????????

u2(k) = (D1 + D2 + D3)k²+ u2

u1(k) = (D1D2 + D1D3 + D2D3)k⁴- (D1(a22a33) + D2(a11a33) + D3(a11a22))k²+u1(0)

u0(k) = D1D2D3k⁶- (D1D2a33 + D1D3a22 + D2D3a11)k⁴+ [D1(a22a33 - a23a32) +D2(a11a33 - a13a31) + D3(a11a22 - a12a21)]k²+ u0(0)

(3.17)

Selon les critères les critères de Routh-Hurwitz pour la stabilité du système 3.3 on a :

La violation de l'une des conditions ci-dessus données en 3.18 (au moins pour un k) induit une instabilité induite par la diffusion (R_e(ëk) > 0).

L'instabilité induite par la diffusion est appelée instabilité de Turing si le point d'équilibre intérieur du système local (sans diffusion) est stable, mais il devient instable en présence de diffusion. En d'autres termes, l'instabilité de Turing se produit pour le système 3.3 si toutes les conditions données par l'inégalité 3.11 sont valides, mais qu'au moins une des conditions de l'inégalité 3.18 est violée, c'est-à-dire. R_e(ëk) < 0 pour k = 0 et R_e(ëk) > 0 pour k =6 0.

Donc, pour étudier l'instabilité de Turing, il est nécessaire de localiser la région pour laquelle le système local devient asymptotiquement stable. Veuillez noter que les valeurs de u2(0) et de u1(0) peuvent prendre les valeurs positives avec un choix approprié des paramètres d, r2, d2, d1, a2et a1 , c'est-à-dire u2(0) et u1(0). sont conditionnellement positifs. Maintenant, la fonction u1(0)u2(0) - u0(0) peut être écrite de la manière suivante :

u1(0)u2(0) - u0(0) = -(a11 + a22)(a11a22 - a12a21 - a23a32) - a32(a11a23 - a13a21) = a22[-a11(a11 + a22) + a13a32] + a21[a12(a11 + a22) + a13a32] (3.19)

Sans perdre de généralité pour étudier l'instabilité de Turing, nous supposons toujours que a22 < 0. Notez également que pour le modèle de diffusion 3.3 , u2(k) > 0 si u2(0) > 0, k étant

un nombre non négatif. Par conséquent, l'instabilité de Turing ne peut pas apparaître via í2(k). De même, puisque par notre hypothèse a22 < 0, nous avons í1(k) > 0 et a11 < 0, et k est un nombre non négatif. Maintenant, vérifions le signe de í0(k) > 0 et í1(k)í2(k) - í0(k) . Ce sont deux fonctions polynomiales cubiques dans k²et peuvent être écrites sous une forme générale :

Maintenant, pour l'instabilité de Turing dans le système 3.3, nous devons avoir P(k²) < 0 pour au moins l'un de í0(k) ou de í1(k)í2(k) - í0(k) . Ce point de Turing minimum et les critères correspondants sont donnés par les relations suivantes :

Où k²est un nombre non négatif, P3 > 0 pour les fonctions í0(k) et í1(k)í2(k) - í0(k) , puis, à partir de l'expression ci-dessus 3.22, on doit avoir soit

Le tableau 3.2 montre clairement que, pour étudier l'instabilité de Turing, il existe certaines relations internes nécessaires entre les coefficients de diffusion et la matrice jacobienne des composants du système local, telles que P1 < 0 ouP2 < 0. Pour les fonctions í0(k) et í1(k)í2(k)- í0(k) , le coefficient P2 > 0 est égal à a11 < 0, a22 < 0,a33 = 0 etD_i> 0(j = 1,2 et 3). Ainsi, le seul moyen possible pour l'instabilité de Turing est P1 < 0 pour au moins une fonction í0(k) ou í1(k)í2(k) - í0(k). Encore une fois, notez que la condition P1 < 0 n'est que la condition nécessaire à l'instabilité de Turing mais non suffisante. Considérons maintenant le coefficient P1 pour les deux fonctions í0(k) et í1(k)í2(k) - í0(k).

Vu la relation 3.20, une condition nécessaire pour laquelle P1|í0(k) devient conditionnellement négative si

TABLE 3.2 - Coefficients générales des fonctions v0(k) et v1(k)v2(k) - v0(k) La condition correspondante pour laquelle P1|v0(k) < 0 est

Considérons le coefficientP1 pour la fonction v1(k)v2(k)- v0(k) correspondant au modèle considéré 3.3

P1|í1(k)í2(k)-í0(k) = D1(a²22 - a12a21) + D2(a²11 - a12a21 - a23a32) + D3(a²11

+ (D1 + D3)a²22 - D3a23a32 + (2D1 + D2 + _2D3)a11a22 + D2v1(0) - D1a12a21 (3.27)

Maintenant nous cherchons le second critère de 3.21, ?k2 = 6P3(k²)³ + 2P2(k²)², qui est positif

pour les fonctions v0(k) et v1(k)v2(k) - v0(k) , qui indique que à k² = k²_T cubes 3.20 a une

2P₂³ - 9P1P2P3 - 2(P₂² - 3P1P3)³/² + 27P0P₃² < 0 car P(K²_T) < 0 (3.28)

Les relations 3.21 et 3.28 sont les conditions nécessaires et suffisantes pour l'instabilité. Les mécanismes mentionnés ci-dessus ne sont toujours pas suffisants pour construire l'instabilité de Turing il est bien connu que l'instabilié de Turing est possible lorsque la caractéristique Eq 3.17 a trois racines réelles (Im(ë) = 0 avec k =6 0) et l'une d'elles devient positive. La caractéristique Eq 3.17 a trois racines réelles si

[2(í2(k))³ - 9í2(k)í1(k) + 27í0(k)]² - 4[(í2(k))² - 3í1(k)]³ < 0 (3.29)

La relation 3.29 peut être considérée comme une condition nécessaire à l'apparition de l'insta-bilité de Turing pour un modèle à trois espèces.

Lemme 1 : L'instabilité de Turing n'est pas possible pour le système 3.3 si (í2(k))²-3í1(k) < 0 . Considérant les valeurs propres réelles de l'équation caractéristique, l'instabilité de Turing se produit lorsque la valeur propre réelle passe par zéro et prend sa première valeur positive, et le mode critique correspondant pour l'instabilité de Turing est donné par

L'instabilité durable ne suffit pas à comprendre les structures des motifs dans un modèle prédateur - proie. Il existe plusieurs autres types d'instabilités, telles que l'instabilité de Hopf et l'instabilité des vagues. Le mélange de toutes ces instabilités peut également être présent ensemble. Nous supposons maintenant que l'équation cubique.3.17 a trois racines et elles se présentent sous la forme de è1, è2 #177; iè3. Par conséquent, à partir de l'équation cubique 3.17 nous avons

í2(k) = í0(k) = -(è1 + 2è2),í1(k) = è²₂ + è²₃ + 2è1è2, í0(k) = è1(è²₂ + è²₃) (3.32)

Dans les expressions de 3.32, on peut facilement constater que si seul í0 change son signe de positif à négatif pour k > 0, alors un ë(k) doit changer de signe de négatif à positif et correspond au seuil correspondant de l'instabilité de Turing. est è1 = 0, et donc í0(k) = 0 .

= r2v(1 - v) - d2vw = c(v - w)

(3.37)

Lemme 2 : Avec la condition v0(k) < 0, le polynôme cubique 3.17 a au moins une racine réelle positive. Preuve : supposer

Considérons maintenant la fonctionv1(k)v1(k) - v0(k) et prend la forme suivante :

D'après l'expression ci-dessus dans 3.34, il est clair que si seulement v1(k)v1(k)-v0(k) fait passer son signe de positif à négatif pour k > 0, alors le complexe ë(k) et son conjugué paire croise l'axe imaginaire de gauche à droite. Le seuil correspondant de l'instabilité de l'onde est 62 = 0, et par conséquent, v1(k)v1(k) - v0(k) = 0 . Lorsque ë est purement complexe (R_e(ë) = 0, Im(ë) =6 0), le mode critique est oscillatoire dans le temps et uniforme dans l'espace, de sorte que le mode critique représente une onde progressive et que l'instabilité de l'onde se produise. Le mode critique correspondant à l'instabilité de la vague est donné par

L'instabilité du système de diffusion de réaction est appelée instabilité de Hopf si au moins une condition donnée par l'inéquation 3.9 est violée. C'est le cas d'une instabilité d'onde correspondant à k = 0, c'est-à-dire que l'espace est indépendant. Le mode critique pour l'instabilité de Hopf est donné par

Un motif fixe apparaît en raison de l'absence de partie imaginaire de valeurs propres dans le cas de l'instabilité de Turing (pure). D'autre part, pour les instabilités de Hopf et d'ondes, il donne un schéma temporel dû à la présence d'une partie imaginaire non nulle de valeurs propres. Dans la présente enquête, nous supposons que les instabilités qui ne satisfont pas les conditions de Turing sont appelées instabilité non-Turing. L'instabilité non-Turing apparaît en cas de violation d'au moins une des conditions énumérées en 3.11. Pour identifier la nouvelle caractéristique du modèle à trois espèces, nous abordons maintenant les conditions d'instabilité dans le modèle 3.3 en l'absence d'une espèce. Supposons d'abord que l'espèce u soit absente ; alors, le système 3.6 devient

Le modèle 3.37 est un modèle à deux espèces en présence d'une complexité de l'habitat avec une réponse fonctionnelle de Holling de type II. Déterminons les points d'équilibre

Rappelons maintenant pour le modèle à deux espèces en présence d'autodiffusion, les conditions de Turing sont

????????? ?

??????????

b11 + b22 < 0

b11b22 - b12b21 > 0

D3b11 + D2b22 > 0

D3b11 + D2b22 > 2[D2D3(b11b22 - b12b21)]^1/2

(3.38)

Il ressort clairement de la relation 3.38 que, pour l'instabilité de Turing dans le modèle prédateur-proie à deux espèces, les diagonales de la matrice jacobienne doivent être de signe opposé,Dj > 0,j = 2,3. En raison de l'absence de terme b22(= 0), la relation 3.38 et la relation 3.38 ne peuvent pas tenir simultanément. Par conséquent, le motif de Turing n'apparaît pas pour le système 3.37 en présence d'autodiffusion. De ce fait, seuls les motifs non-Turing existent dans le système réduit 3.37 en présence d'autodiffusion.

est la limite du domaine et x la normale extérieure pour . Sans perte de généralité, on suppose

Nous simulons le modèle 3.3 dans certains domaines spatiaux bornés Ç R²en supposant des conditions aux limites à flux nul, c'est-à-dire l'absence d'entrée externe. Nous simulons le modèle 3.6 pour tous (u, v)c [0, L] x [0, L] avec des conditions initiales positives autour du

?Ù ? C². Pour résoudre le système 3.6, nous transformons le modèle continu en un modèle de dimension finie, c'est-à-dire que nous discrétisons le modèle à la fois dans le temps et dans l'espace. Nous avons utilisé la méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre et utilisé des conditions initiales aléatoires autour de l'état d'équilibre. Nous étudions ledit modèle 3.6 en prenant r2 et c comme paramètre de contrôle. Veuillez noter que le paramètre non dimensionnel r2 est le rapport du taux de croissance de l'espèce u à v et que c est le rapport du taux de croissance de l'espèce w au taux de croissance de l'espèce u. Depuis le taux de croissance et le taux de mortalité d'une espèce sont des composants cruciaux pour un système prédateur - proie, donc r2 et c sont des paramètres biologiques très importants. Nous avons fixé les autres paramètres locaux comme d1 = 10; d2 = 9; a1 = 12; a2 = 6 et les paramètres de diffusion sont définis comme D1 = 10^-5;D2 = 5 × 10^-6; D3 = 1.5 × 10^-3;

En fixant c = 1.5 et en prenant r2 = 1 nous obtenons le point d'équilibre intérieur (u,v,w) sous la forme ( 0,0330, 0,0604, 0,0604) et nous trouvons u0(0) = -0.0201, u1(0) = -0.0922; u2(0) = 0.0934 et u1(0)u2(0) - u0(0) = 0.0114 indiquant que, pour le choix de paramètre ci-dessus, le système 3.6 est instable.

La figure (3.2) présente la variation de la relation de dispersion et du Coefficient de dispersion en fonction de la fréquence du système (3.3) on constate que pour toutes les valeurs de k le critère de Routh-Hurwitz n'est pas respecté. Donc le système 3.3 est instable.

valeurs des paramètres : r2 = 1; d1 = 10; d2 = 9; c = 1.5; d = 4*10-⁵; a1 = 12; a2 = 6; D1 = 10-⁵; D2 = 5 × 10-⁶;D3 = 1.5 × 10-³

Examinons maintenant le modèle de diffusion du système (3.3) et traçons les coefficients de dispersion appropriés en fonction du nombre d'onde k sur la figure 3.2. Nous avons constaté que le coefficient de dispersion í0(k) < 0 pour certaines valeurs de k =6 0, ce qui indique que l'instabilité de Turing est possible. Si le jeu des paramètres satisfait les conditions de l'équation (3.28) pour la fonction í0(k)

Dans cette section, nous présentons les preuves de la formation de modèles de Turing du système 3.3. Pour simplifier notre étude, nous supposons que l'instabilité qui ne satisfait pas les conditions d'instabilité de Turing est appelée instabilité non-Turing et que les modèles correspondants sont nommés comme modèles non-Turing. Le modèle non-Turing se produit via l'instabilité de Hopf.

La figure 3.3 représente variation du coefficient de dispersion [y0(k)] pour différentes valeurs de r2(taux de croissance des cellules tumorales) en fonction du nombre d'onde plane. Nous constatons qu'on a trois zones : Une première zone ou le système est instable.

Une deuxième zone correspondante à une zone de transition entre système stable et instable pour une valeur proche de k = 30.

FIGURE 3.3 - Relation des coefficients de dispersion pour différentes valeurs de r2

valeurs des paramètres :d1 = 10;d2 = 9;c = 1.5;d = 4 x 10-⁵;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 x 10-⁶;D3 = 1.5 x 10-³

L'étude de l'influence de c (taux de croissance de l'acide) sur la stabilité du système sont représenté par les figures (3.4) et (3.5). Ces figures représentent la variation des coefficients de dispersion [v0(k) et v1(k)v1(k) - v0(k)] en fonction de l'onde plane. Pour la figure (3.4) nous constatons que, lorsque c est faible le système est instable, et par conséquent nous distinguons deux zones de stabilité-instabilité pour des valeurs très grandes de c. Par contre la figure 3.5 montre que pour les mêmes valeurs de c le système est stable. Par contre selon les critères de stabilité de Routh-Hurwitz [v0(k) > 0 et v0(k) v1(k)v1(k) - v0(k) > 0] pour ces même valeurs de c (taux de croissance de l'acide) le système est instable car ces deux conditions ne sont pas toujours vérifiées.

FIGURE 3.4 - Relation des coefficients de dispersion pour différentes valeurs de c

valeurs des paramètres r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10-⁵;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 x 10-⁶;D3 = 1.5 x 10-³

FIGURE 3.5 - Relation des coefficients de dispersion pour différentes valeurs de c (taux de croissance de l'acide) valeurs des paramètres :r2 = 1; d1 = 10; d2 = 9; d = 4x10-5; a1 = 12; a2 = 6; D1 = 10-⁵; D2 = 5 x 10-⁶;D3 = 1.5 x 10-³

Dans le but de mieux apprécier le comportement du système dynamique de l'equation (3.3) nous utilisons la méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre (RK4) pour la simulation numérique de notre système de départ. Les figures (3.6) à (3.11) montrent l'évolution de la densité de cellules saines (u), densité de cellules tumorales (v) et la concentration de l'acide lactique extracellulaire (w) en fonction du temps Pour différentes valeurs du nombre d'onde plane k et du nombre d'onde perturbée K Pour les figures (3.6), (3.7) et (3.8), nous étudions le cas où le nombre d'onde perturbée est supérieur au nombre d'onde plane(K > k). Pour les figures (3.6) et (3.7) nous observons un taux d'oscillations apériodiques et inhomogènes mais par contre pour la figure (3.8) on observe des oscillations périodiques et homogènes.

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10_5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10_⁵;D2 = 5 x 10_⁶; D3 = 1.5 x 10_³; K = 0.37r; k = 0.45

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10_5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10_⁵;D2 = 5 x 10_⁶; D3 = 1.5 x 10_³; K = 0.37r; k = 0.6

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10-5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 x 10-⁶; D3 = 1.5 x 10-³; K = 0.37r; k = 0.9

Pour les figures (3.9), (3.10) et (3.11) nous étudions le cas où le nombre d'onde perturbée est inférieur au nombre d'onde plane (K < k). Pour ces figures, nous constatons que les oscillations sont apériodiques et inhomogènes mais aussi avec certaine oscillations périodiques et homogènes mais qui ne nous permet pas de localiser parfaitement le désordre

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10-5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 x 10-⁶; D3 = 1.5 x 10-³; K = 0.457r; k = 0.6

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10-5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 x 10-⁶; D3 = 1.5 x 10-³; K = 0.457r; k = 0.75

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 x 10-5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 x 10-⁶; D3 = 1.5 x 10-³; K = 0.457r; k = 0.9

La figure (3.12) présente la variation de relation de dispersion et du Coefficient de dispersion en fonction du nombre d'onde plane du système 3.3. On remarque que pour toutes les valeurs de k le critère de Routh-Hurwitz n'est pas respecté. Donc le système 3.3 est instable.

FIGURE 3.12 - Coefficient de dispersion et relation de dispersion du système 3.3

valeurs des paramètres :r2 = 1;d1 = 10;d2 = 9;d = 4 × 10-5;a1 = 12;a2 = 6;D1 = 10-⁵;D2 = 5 × 10-⁶;D3 = 1.5 × 10-³

Parvenu au terme de ces simulations numériques nous constatons que les systèmes 3.3 et 3.6 sont instables mais par contre la figure (3.8) nous permet d'avoir une localisation parfaite du désordre cellulaire. Elle nous permettra par ce fait de localiser explicitement pour une cellule donné les zones où nous avons une forte densité de désordre cellulaire et, où la concentration d'acide lactique la plus élevé. Ainsi nous pourrons attaquer ces zones par une thérapie ciblée.

Dynamique non lineaire et effet de l’instabilite de turing sur les systèmes cellulaires désordonnés

CHAPITRE TROIS