2.5.3 Sensibilité aux conditions initiales
(SCI)
La sensibilité des trajectoires chaotiques aux
conditions initiales est une autre caractéristique permettant de
reconnaître un comportement chaotique. Quelle que soit la
proximité de deux états initiaux, les trajectoires qui en sont
issues divergent rapidement l'une de l'autre. Elles restent cependant
liées au même attracteur donc, confinées dans un espace
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Dieu.
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borné. Il est en particulier clair que, la moindre
erreur ou simple imprécision sur la condition initiale, interdit de
décider à tout temps quelle sera la trajectoire effectivement
suivie et, en conséquence, de faire une prédiction autre que
statistique sur le devenir à long terme du système. Ainsi, bien
qu'on les traite de systèmes déterministes, il est impossible de
prévoir à long terme leurs comportements. Illustrons ce
phénomène de SCI par une simulation numérique. On
affecte au système chaotique de Lorenz ci-dessous, deux conditions
initiales très proches. Dans un premier temps, les deux systèmes
évoluent de la même manière ; mais, très vite, leur
comportement devient différent. Ceci est illustré dans la figure
2.3.
x ( y x )
= cI --
? ? = -- --
y rx y xz
? = --
L z yx bz
? (2.3)
Système de Lorenz avec ; b = 8/3 ; c =
28. Voir chapitre 3 pour plus d'information.
Figure 2.3. Evolution dans le temps pour deux conditions
initiales très voisines
2.5.4 Spectre de puissance
Une autre façon simple de caractériser le chaos
consiste à calculer le spectre de Fourier de l'évolution
temporelle d'une des variables du système. Le système est dit
intégrable lorsqu'il est possible de déterminer
complètement les trajectoires d'un système dans son espace de
phases; les trajectoires étant la composition de mouvements
d'oscillations ayant chacun une pulsation . Le spectre d'une variable d'un tel
système ne contient donc qu'une assemblée de
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Cryptage chaotique des images basé sur le
modèle du perceptron
Chapitre 2 : Le chaos et les réseaux de neurones
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Cryptage chaotique des images basé sur le
modèle du perceptron
Chapitre 2 : Le chaos et les réseaux de neurones
raies fines situées aux pulsations wi, à leurs
harmoniques mwi avec m E N, aux combinaisons linéaires de
fréquences mwi + nwi, avec n E 7L, les spectres qui sont la combinaison
de plusieurs fréquences sans rapport simple sont dit quasi
périodiques. L'existence de spectres larges est une
caractéristique essentielle des mouvements chaotiques d'un
système.
2.5.5 Exposants de Lyapunov
Certains systèmes dynamiques sont très sensibles
aux variations de leurs conditions initiales, ces variations peuvent rapidement
prendre d'énormes proportions. Le mathématicien russe Alexander
Markus-Lyapunov (1857-1918) s'est penché sur ce phénomène
et a développé une quantité permettant de mesurer la
vitesse à laquelle ces petites variations peuvent s'amplifier, cette
quantité appelée « exposant de Lyapunov » mesure en
fait le degré de sensibilité d'un système dynamique,
autrement dit, le taux de divergence entre l'évolution de trajectoires
issues de conditions initiales proches au sein de cet espace borné
qu'est l'attracteur étrange.
L'exposant de Lyapunov est une mesure quantitative possible du
chaos, et Lyapunov a démontré que le nombre d'exposants de
Lyapunov est égal à la dimension de l'espace des phases. Par
exemple, pour un système d'ordre 3, la seule possibilité
pour avoir un attracteur chaotique est telle que : A1 > 0
,A2 = 0, A3 < 0 avec une condition
supplémentaire de stabilité du chaos A3 <
--A1. Il est possible d'avoir plusieurs exposants positifs pour
un système d'ordre supérieur à 3; c'est ainsi que
pour un système du quatrième ordre, nous avons trois
possibilités, résumées sur le tableau 2.1.
Tableau 2.1. Signes possibles des exposants de Lyapunov
pour un système du 4ème ordre
|
+
+
+
|
0
+
0
|
-
0
0
|
|
|
- 0 > A3 >_ A4
(chaos)
|
|
- > 0 (hyperchaos)
|
|
- Double tore chaotique
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