2.5.2 Attracteurs
Un attracteur est un objet géométrique vers
lequel tendent toutes les trajectoires des points de l'espace des phases, c'est
à dire une situation ou un ensemble de situations vers lesquelles
évoluent un système, quelles que soient ses conditions initiales.
Le bassin d'attraction d'un attracteur est l'ensemble des points de l'espace
des phases qui donnent une trajectoire évoluant vers l'attracteur
considéré. On peut donc avoir plusieurs attracteurs dans un
même espace des phases. Il existe deux types d'attracteurs : les
attracteurs réguliers et les attracteurs étranges ou chaotiques.
Les attracteurs étranges semblent inclure à la fois des lois
déterministes et des lois aléatoires, ce qui rend impossible
toute prévision à long terme.
? Attracteurs réguliers
Les attracteurs réguliers caractérisent
l'évolution de systèmes non chaotiques, et peuvent être de
deux sortes :
? Un point fixe : ou état stationnaire, du
système. Ce sont les valeurs de la variable pour
lesquelles elle n'évolue plus avec le temps. Un
élément x de E est un point fixe de f
si f(x) = x.
? Un cycle limite : Ce sont les valeurs de la
variable pour lesquelles la trajectoire de phase
se referme sur
elle-même. L'évolution temporelle est alors cyclique.
Pour tous les attracteurs réguliers, c'est à
dire pour tous les systèmes non-chaotiques, des trajectoires qui partent
de "points" proches l'un de l'autre dans l'espace de phase restent
indéfiniment voisines. On sait donc prévoir l'évolution de
ces systèmes, à partir d'une situation connue [58].
? Attracteurs étranges
Ils sont caractéristiques de l'évolution des
systèmes chaotiques c'est-à-dire qu'au bout d'un certain temps,
tous les points de l'espace des phases (et appartenant au bassin d'attraction
de l'attracteur) donnent des trajectoires qui tendent à former
l'attracteur étrange.
Mémoire de Master en EEA, par NKAPKOP Jean De
Dieu.
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À grande échelle, un attracteur étrange
n'est pas une surface lisse, mais une surface repliée plusieurs fois sur
elle-même. En effet, les trajectoires des points divergent (puisque, par
définition deux points ne peuvent avoir la même évolution),
mais comme l'attracteur a des dimensions finies, l'attracteur doit se replier
sur lui-même. Le processus d'étirement-repliement se
répète à l'infini et fait apparaître un nombre
infini de « plis » imbriqués les uns dans les autres qui ne se
recoupent jamais. Ainsi, deux points très proches au départ
(conditions initiales) peuvent se retrouver à deux
extrémités opposées de l'attracteur (conditions finales).
Cela traduit le comportement divergent des phénomènes
chaotiques.
On obtient ainsi des attracteurs différents (en
fonction des systèmes étudiés), qui présentent des
formes diverses et surprenantes [59] voir figure 2.2.
Figure 2.2. Attracteurs étranges
[59]
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