2.5 Quelques outils pour caractériser le
chaos
Les modèles chaotiques s'écrivent comme nous
l'avons vu, par des équations différentielles non
linéaires qui peuvent être discrètes ou continues, autonome
ou non. Dans un grand nombre de cas, ces équations
différentielles ne sont pas directement intégrables. On ne peut
alors faire recours qu'à une méthode numérique de calcul
des solutions. Les théoriciens du
Mémoire de Master en EEA, par NKAPKOP Jean De
Dieu.
Cryptage chaotique des images basé sur le
modèle du perceptron
Chapitre 2 : Le chaos et les réseaux de neurones
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chaos disposent de nos jours, de plusieurs outils pour
décrire un comportement chaotique sur la base des équations
différentielles associées. Nous ne retiendrons ici que ceux qu'on
peut mettre en oeuvre numériquement et qui donnent suffisamment de
renseignements pour analyser explicitement les phénomènes
impliqués. Certains de ces outils sont d'ailleurs souvent
complémentaires entre eux.
2.5.1 Espace des phases
Il est possible de suivre l'évolution de l'état
d'un système physique dans le temps. Pour cela, on construit d'abord un
modèle avec les lois physiques et les paramètres
nécessaires et suffisants pour caractériser le système. Ce
modèle est bien souvent constitué par des équations
différentielles. On définira, à un instant donné,
un point dans un « repère ». Ce point caractérisera
l'état du système dans l'espace à cet instant. Cet espace
est appelé « l'espace des phases ». L'espace des phases est
une notion purement mathématique qui comporte autant de dimensions qu'il
y a de paramètres dans le système dynamique étudié.
Ainsi on pourrait très bien imaginer se retrouver à manipuler un
espace de phases à 216 dimensions, si le système
dynamique analysé implique 216 paramètres (toute
difficulté géométrique mise à part...). En
considérant un espace des phases à 3 dimensions, on ne
peut tracer qu'un graphique. Voir figure 2.1.
Figure 2. 1. Séries temporelles et espaces de
phase de quelques oscillateurs
Mémoire de Master en EEA, par NKAPKOP Jean De
Dieu.
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modèle du perceptron
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Le système (a) converge vers un état
d'équilibre après maintes oscillations, ce qui correspond dans
l'espace des phases à des boucles qui convergent vers un point. Le
système (b) se répète périodiquement, ce
qui correspond dans l'espace des phases à une orbite cyclique. Le
système (c) a également un mouvement périodique
mais plus complexe ; il se répète seulement après deux
oscillations différentes : on dit qu'il possède un cycle de
période 2. Cela correspond à des boucles plus
compliquées dans l'espace des phases. Le système (d) est
chaotique, et dans l'espace des phases, il possède la forme en aile de
papillon de l'attracteur étrange de Lorenz.
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