2.2 Systèmes dynamiques
On définit un système dynamique par un triplet
(X, T, f) constitué de l'espace d'états X,
du domaine temporel T, et d'une application de
transition d'état f:XXT -X qui permet de définir
à partir d'un vecteur de conditions initiales l'état du
système à tout instant. Lorsque le champ de vecteur f
dépend explicitement du temps, le système est dit
non-autonome. Dans le cas contraire, on dit que le système est autonome.
[57]
Les systèmes dynamiques peuvent être
linéaires ou non linéaires. Dans la suite, nous ne nous
intéresserons qu'aux systèmes dynamiques non linéaires car
ils feront l'objet de notre étude au chapitre 3 de ce mémoire.
2.3 Systèmes dynamiques non linéaires
Les systèmes dynamiques non linéaires, ou
simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements
complètement imprévisibles lorsqu'ils sont mis sous certaines
conditions. Ces comportements peuvent même sembler aléatoires bien
que ces systèmes soient parfaitement déterministes. Cette
imprédictibilité est appelée chaos. La
théorie du chaos décrit qualitativement le comportement à
long terme des systèmes dynamiques non linéaires. Dans la
théorie des systèmes dynamiques non linéaires, on a deux
classes de systèmes : les systèmes à temps continu et les
systèmes à temps discret.
Mémoire de Master en EEA, par NKAPKOP Jean De
Dieu.
Cryptage chaotique des images basé sur le
modèle du perceptron
Chapitre 2 : Le chaos et les réseaux de neurones
29
2.3.1 Systèmes dynamiques non linéaires
à temps continu
Dans le cas où la composante "temps" est continu, le
système dynamique est présenté par un système
d'équations différentielles de la forme :
E I1 n et p E I1 p (2.1)
2.3.2 Systèmes dynamiques non linéaires
à temps discret
Dans le cas où le temps est discret, le système
dynamique est présenté par une application itérative.
E I1 n et p E I1 T , k = 1, 2, 3, ...
(2.2)
2.4 Systèmes dynamiques chaotiques
Les systèmes dynamiques chaotiques sont les
systèmes dynamiques satisfaisant aux conditions suivantes [58]:
· La non-linéarité : un système
chaotique est un système dynamique non linéaire. Un
système linéaire, ne peut pas être chaotique.
· Le déterminisme : un système chaotique a
des règles fondamentales déterministes et non probabilistes.
L'évolution irrégulière du comportement d'un
système chaotique est due aux non linéarités.
· La sensibilité aux conditions initiales : de
très petits changements sur l'état initial peuvent mener à
des comportements radicalement différents dans son état final.
· L'imprévisibilité : en raison de la
sensibilité aux conditions initiales.
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