1.3.2. Mise sous forme d'état
1.3.2.1. Le formalisme d'état [1]
Le formalisme d'état est une vision élargie de
la théorie des systèmes reposant sur le concept d'énergie.
La démarche est naturelle et complète puisque découlant
d'une logique considérant que l'évolution de tout système
est directement liée à celle du volume énergétique
qu'il renferme. Pour un système considéré, ce volume
représente l'état du système alors spécifié
par des grandeurs caractéristiques ; modifier l'évolution revient
donc à agir sur l'état grâce aux facteurs d'énergie
potentielle et cinétique que sont les grandeurs
caractéristiques.
Il s'agit de la formalisation des équations
linéaires sous forme matricielle pour représenter la dynamique du
système. Cette représentation fait appel aux
propriétés de l'algèbre matricielle linéaire pour
mener une étude plus fine du système considéré.
1.3.2.1.1. Équations d'état
L'équation d'état se présente comme une
forme d'une équation différentielle du premier ordre.
L'équation prend la forme suivante :
= [ ] H 2 (1.3)
Avec :
: Vecteur d'état à n composantes, tel que :
Z , KKI 2 (1.4)
: Vecteur d'entrée à r composantes, tel que :
Z , KKI 2. (1.5)
: Matrice d'évolution du système, carrée de
dimension (n x n).
: Matrice d'application de la commande, de dimension (n x r).
N.B. La dimension d'une matrice est
donnée par: (nombre de lignes, nombre de colonnes).
1.3.2.1.2. Équation d'observation
Les grandeurs d'état ne sont pas nécessairement
celles intéressant l'utilisateur du système ;
toutefois, la
simple raison suffit à comprendre que les variables choisies ou
désignées comme
9
sorties sont fonction de l'état et des entrées.
L'équation d'observation détermine alors les relations qui
existent entre ces diverses grandeurs, soit :
Z , 2 H , 2 (1.6)
Avec :
: Vecteur de sortie ou d'observation à m composantes, tel
que :
Z , KKK 2 (1.7)
: Matrice d'observation, de dimension (m x n).
: Matrice de transmission directe, de dimension (m x r).
? En pratique, on repère le nombre de grandeurs
d'état d'un système au nombre
d'éléments susceptible d'accumuler de
l'énergie, potentielle ou cinétique.
1.3.2.2. La formalisation des équations sous forme
d'état
Pour formuler la dynamique du système en fonction de
variables d'état, nous débutons par
définir le vecteur d'état i F.
Suivant la figure 1.1, Les deux masses et la liaison
élastique sont les éléments susceptibles d'accumuler
respectivement de l'énergie cinétique et de l'énergie
potentielle. Le vecteur d'état le plus naturel est donc, constituer de
quatre variables: la vitesse de déplacement vertical de chacune des
masses, l'effort transmit par le débattement vertical (ressort) de la
suspension et l'écrasement vertical du pneu. Le vecteur d'état a
été choisi tel que :
I E F FI E F F
I F Z E F f F , , E F 1 1 , EN1UF
Par la suite, les équations sont
décomposées en fonction du vecteur d'état I F, de
l'entrée contrôlée et de l'entrée perturbatrice F F
. L'équation d'état associée aux équations (1.1)
est sous la forme.
P F Z [ ] I F H 2 I F H 2 f F EN.9F
Avec les matrices suivantes :
0
0
L
1
-N
0
0
I
0
- /
z
z
z
10)
0
0
- /
0
N1
0
0
1
-I H FT
-N
I-
10
Le vecteur d'entrée , I F I F2 est constitué de la
variation du profil de la route vertical et
de la force active produite par l'actionneur (commande).
Afin de déterminer la qualité de la suspension,
il est nécessaire de définir des critères, ces
critères permettent de caractériser les performances de la
suspension. Rappelons que dans ce chapitre, nous nous intéressons
uniquement à l'analyse en boucle ouverte (sans contrôle). Le
système est donc soumis à la seule sollicitation externe, qui est
le profil de la route vertical.
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