4.1.3. Formulation du problème 8[6, 3]
Toute méthodologie de commande avancée consiste
à trouver un régulateur ( ) qui permet de contrôler
efficacement le système, de telle sorte que le système en boucle
fermée ait de bonnes propriétés de performances et de
robustesse.
Sous sa forme la plus simple, le problème 8
est un problème de réjection de perturbations. A partir du
système exprimé sous la forme standard de la figure (4.1), il
consiste à minimiser l'effet d'une perturbation sur le comportement du
système. Son effet sur le système est mesuré par la norme
€ du vecteur de sortie (sorties à contrôler),
sachant que l'on peut agir sur le système par une commande
(éléments actifs) et que l'on dispose d'une observation
(mesures
disponibles). Il s'agit donc de synthétiser une loi de
commande = ( ) qui minimise
l'impacte de sur . On mesurera cet impacte par le rapport . La
stabilité interne du
système devra bien sûr être assurée.
( )
( )
Figure 4.1- Problème 8 standard
La matrice de transfert ( ) modélise les interactions
dynamiques entre deux ensembles
d'entrées et deux ensembles de sorties, tendis que ( )
désigne le correcteur que l'on cherche à calculer.
Le système (plant) admet pour équation
d'état :
?( ) = ( ) + ( ) + ( )
?( ) = ( ) + ( ) + ( ) (4.8)
( ) = ( ) + ( ) + ( )
Comme le système ( ) a deux entrées et deux
sorties, il peut être partitionné de la manière suivante
:
( ) =
( ) ( )
( ) ( )
(4.9)
Dans le domaine de Laplace, les équations du
système dynamique se réécrivent :
( )
t ( ) = ( ) ( ) (4.10)
( )
Ainsi, la matrice de transfert entre et du système
bouclé est donné par la Transformation Linéaire
Fractionnelle (LFT) :
( ) = ( , ) ( ) (4.11)
( , ) = ( ) + ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) (4.12)
Le problème décrit ci-dessus peut se formuler
mathématiquement comme suite:
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? Etant donné > 0, existe-il un une loi de commande ( )
telle que :
1. Le système bouclé figure (4.1) soit stable de
manière interne (c.-à-d. tous les pôles
du
système bouclé sont à partie réelle strictement
négative).
2.
( , )?00 < .
Assure
Le correcteur permettant d'atteindre la plus petite valeur de
sera dit optimal. Cette valeur minimale, notée , peut être
approchée par dichotomie.
En pratique, le système généralisé
(dit augmenté) est en faite constitué du système
étudié ( )
et des pondérations fréquentielles ( ) et ( )
associé respectivement aux entrées
exogènes et aux sorties contrôlées ,
représentant les spécifications de performance. Soit :
( )
( )
( )
( )
( )
Figure 4.2 - problème 00 standard
incluant les pondérations
Ces pondérations en fréquences permettent de
privilégier certains transferts pour certains domaines
fréquentiels.
Deux approches peuvent être envisagées pour
résoudre le problème 00 standard. La
première approche est fondée sur la résolution des
équations de Riccati. Elle est aussi connue sous le nom de l'algorithme
de Glover-Doyle ou -itérations, apparue à la fin des
années 80. C'est la solution la plus simple et la plus fiable
numériquement. Une deuxième solution de ce problème de
commande 00 peut être aussi utilisée, elle est
basée sur la résolution d'un problème d'optimisation
convexe sous contraintes d'inégalités matricielles
linéaires (LMI). Nous présentons ci-dessous l'approche par
équations de Riccati.
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