Chapitre IV
Synthese H_00
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Dans ce chapitre, nous allons décrire la
synthèse 8 standard en présentant les outils
nécessaires à cette approche (les valeurs singulières
d'une matrice de transfert, la norme infinie d'un système
linéaire), la notion de problème standard et enfin nous
présentons une méthode de résolution par équations
de Riccati. Différentes simulations ont été
réalisées et commentées en fin de ce chapitre.
4.1. Introduction
4.1.1. La Synthèse 8
La synthèse 8 propose un cadre
général pour le calcul d'un correcteur, en manipulant des
concepts fréquentiels. Elle permet de prendre en compte des objectifs de
stabilité, de marges de stabilité et de modelage de
différents transfert, voir certains objectifs de robustesse, en retour
dynamique de sortie. Une vision plus réaliste est de considérer
cette approche comme une façon particulière de calculer un
correcteur, sans que toutes les demandes de performance et de robustesse soient
prises en compte a priori.
La recherche de la loi de commande du correcteur se fera
algorithmiquement par la résolution du problème d'optimisation
(minimisation de la norme 8 d'un critère mathématique).
La tache de l'automaticien sera donc d'établir le critère
mathématique qui reflète au mieux le cahier des charges.
4.1.2. Outils de calcul nécessaire à la
synthèse 8 [4]
a) Valeurs singulière d'une matrice de
transfert
Considérons un système linéaire invariant
avec un vecteur d'entrée ( ) et de sortie ( ) de
dimension
respectivement et . Soit ( ) sa matrice de transfert. En réponse
à une excitation
harmonique ( ) = , la sortie du système s'écrit
:
( ) = ( ) (4.1)
Pour un système monovariable, on définit à
partir de cette relation le gain du système à la
pulsation par le module I ( )I. Dans le cas multivariables, on
utilise la notion de valeurs
singulières, elles constituent une
généralisation de la notion de gain et définies comme
étant les racines carrée des valeurs propres positives de ( )
multipliée par sa tansconjuguée :
) ( (-- ) ) ( ) = ( )( (-- ) ) , = 1, min ( , ) (4.2)
Où est la é valeur propre.
On notera ) grande valeur singulière et ( ( )) la plus
petite :
) ) ) ) (4.3)
Remarque : Pour un système monovariable,
il n'existe qu'une valeur singulière, qui est donnée par:
) ) )I (4.4)
b) Norme 8 d'un système linéaire
invariant
Soit le système linéaire invariant décrit
par la représentation d'état :
( ) = ( ) + ( ) (4.5)
( ) = ( ) + ( )
De matrice de transfert ( ) = ( - ) + . Nous posons
l'hypothèse que le système est
stable. L'ensemble des matrices de transfert ( ) correspondant
à un système stable est noté usuellement R 8.
Pour toute matrice ( ) dans R , on définit une norme
notée I ( )I, et qui est appelée
norme 8. Celle-ci est calculée de la
manière suivante :
I ( )IL = ))| R (4.6)
La norme ( ) est donc la valeur la plus élevée du
gain du système sur l'ensemble des
pulsations . Sur la base de la
définition (4.6), on peut facilement obtenir une borne inférieure
de
( )?8 en cherchant la valeur la plus
élevé du 2ême membre de l'équation (4.6)
pour un ensemble de valeurs de choisies a priori. Mais si celui-ci
présente un maximum très »pointu», on risque de sous
évaluer la norme 8.
La propriété suivante fournit un majorant de la
norme , :
Propriété 4.1 : soit un
réel positif > ( ). Alors ( )?8 < si et seulement si la
matrice
Hamiltonienne :
= -
= -
-
=
-
(4.7)
n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire.
Pour déterminer la norme 8 du système, il
suffit alors de rechercher le plus petit tel
que ( )?8 < . Pour cela on peut effectuer une
recherche linéaire sur le paramètre en
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faisant par exemple une approche par dichotomie.
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