Chapitre II
Outils d'analyse des systemes boucles
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2. Introduction
Ce chapitre est consacré à un rappel des outils
d'analyse des systèmes bouclés. Après un bref rappel sur
l'analyse de la stabilité et de la performance du système
bouclé nominal, nous nous intéressons à la notion de
robustesse. Nous différentions deux types d'incertitudes : les
incertitudes non structurées, seulement caractérisées par
une borne de leur norme, et les incertitudes structurées qui
correspondent à une représentation beaucoup plus fine des
incertitudes. Nous rappelons le théorème du faible gain
appliqué à l'analyse de la robustesse face à des
incertitudes non structurées.
2.1. Propriétés du système nominal
Considérons le système bouclé de la Figure
2.1, où ( ) est un modèle sous forme de matrice
de transfert
d'un système multivariable, de dimension X et ( ) le correcteur de
dimension X . On appelle :
consigne ou signal de référence.
la sortie du système.
la commande (sortie du correcteur).
perturbations affectant la sortie du système. des bruits
de mesure.
= - l'écart d'asservissement.
Figure 2.1 - Schéma bloc pour l'étude de la
performance nominale
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( ) = ( )'( ) ( )'( ) ) : ) (2.6)
( )
Avec : ( ) = ( )
La référence , la perturbation et le bruit de
mesure sont les signaux exogènes qui
agissent sur le système bouclé. Le signal est
généralement la consigne générée qui dirige
la sortie . Les signaux et sont en général les signaux non
désirés dont l'influence sur le système devrait être
limitée.
2.1.1. Performances nominales
La performance nominale consiste à assurer, pour le
système en boucle fermée correspondant au modèle
utilisé pour le calcul de la commande, des propriétés
convenables, notamment de précision et de rapidité.
Pour traduire mathématiquement ces
propriétés, un certain nombre de matrices de transfert
caractéristiques du système en boucle fermée sont
définies :
2.1.1.1. Matrices de sensibilité
On peut, à partir du schéma de la Figure 2.1,
exprimer les transformées de Laplace des
signaux ( , , et ) en fonction des transformées de Laplace
des signaux ( et ) :
( ) = + ( ) ( ) ( ) ( ) -- ( ) + ( ) ( ) ( ) (2.1)
( ) = + ( ) ( ) -- ( ) f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.2)
( ) = ( ) + ( ) ( ) -- ( ) -- ( ) (2.3)
Ces relations font intervenir les matrices de transfert suivantes
:
. Matrices de sensibilité en sortie:
( ) = ( ) ( ) appelée matrice de sensibilité en
sortie. Elle représente la
matrice de transfert entre la consigne et l'écart . Ainsi
que l'influence des perturbations sur la sortie et l'écart .
( ) = ( ) ( ) ( ) est appelée matrice de
sensibilité complémentaire en
sortie. Elle représente la matrice de transfert entre la
consigne et la sortie , ainsi que
l'influence des bruits de mesure sur la sortie et l'écart
.
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