Modèlisation d'un prototype et commande vectorielle avec et sans capteur mécanique du moteur couple

3.5. Modèle du moteur dans le référentiel de PARK :

Le principe consiste à convertir le système triphasé précédent d'axes a_s, b_s et c_s en un système diphasé d'axes d et q équivalent. Compte tenu de la figure I-3.1, cette transformation aboutie à la matrice de PARK [ P] :

(I-16) : [ P] =

1^-
[

2

3

?

?

) ?

? ?

cose cos(9-- 2 7c 3 ) cos(9 -- 4 7c 3)

? sin ? ? sin( ? ?

? 2 3 ) sin(

? ? -- 4 7c 3

1 2 1 2 1 2

Matrice de PARK.

? ?

?

? ?

et sa matrice inverse :

(I-17) : [P]^-1 =

cose --sin

i ?

?

? ?

0 1

cos(9 -- 2 7c 3 ) --sin(9 -- 2 7c 3 ) 1
cos(9-- 4 7c 3 ) --sin(9 -- 4 7c 3 ) 1

Matrice inverse de PARK.

Avec la matrice [ P] , il est ainsi possible de passer d'un système à l'autre. Pour cela, on utilise les transformations suivantes :

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

i ? P i ? i ? P i

? 1

dqo s abc s abc s dqo s

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

1

v P v ? v ? P v

?

?

dqo abc s abc s dqo

s s

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? 1

? ? P ? ? ? ? P ?

dqo abc s abc s dqo

s s

(I-18)

L'unicité de la matrice de transformation [ P] pour les tensions, les courants et les flux, nous oblige à tenir compte des changements de variables suivants :

2 2

? ds

3 3

i i

? ? v ? ? v ? ? ?

ds ds ds ds ds

2 2

i i

? ? v ? ? v ? ? ? ? ?

qs qs qs qs qs qs

3 3

1 1

i i

? ? v ? ? v ? ? ? ?

os os ds os ds os

3 3

(I-19)

Il faudra faire ATTENTION que dans tout ce qui suit, nous utiliserons
des notations non primées pour simplifier les écritures (Sauf indication
contraire).

? Pour retrouver des vraies valeurs de flux et de tensions sur les axes d et q, il faudra multiplier chaque résultat par 3 2 (les résultats sur les courants restent identiques).

A partir d'un calcul que l'on ne démontre pas, on obtient :

i
i
i

vds

ds

1 ?

?

? ?

?

qs

[R_s]

+0)

v _qs

1 ?

?

? ?

r I

[

F I

[

r I

[

os

v os

F I [

'Yds Tqs Tos

1 ? ? ? ?

+

d dt

r I [

^tPds Tqs Tos

1 ? ? ? ?

0 --1 01

?

1 0 0 ?

0 0 0 ? ?

(I-20)

On en déduit les équations de PARK :

dlds

+ ?

dt

dlidt qs v qs = R s iqs + +

v os = R _s i os

(Attention aux valeurs primées)

EQUATIONS DE
PARK DU MOTEUR DISCOIDE A RELUCTANCE
VARIABLE ET A AIMANTS PERMANENTS ALTERNES.

v ds = R s ids

colli_qs

Wt

ds

+ dIos

dt

(I-21)

On sait que ? ? abc ? s ? ? s ? abc ? s ? ? abc ? aim

? L i ?

On multiplie chaque terme par la matrice de PARK, ce qui nous donne :

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?

? P L i ? P

dqo s s abc s ? abc aim

(I-22)

On remplace [ iabc] s par [ idqo? _s ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?

? P L P i

?1 ? P

dqo s s ? abc aim

dqo s

Après un calcul, on obtient pour le premier terme :

?

? ?

i ? 0

dqo s ?

?

l ? 3 2 L 0 ? ?

i

f ms ? dqo

f ?

? ? ? ? ? ?

0 0

1

s

0 0

l ?

l _f + 3 2 Lms

? ? ?

L M

? 0 0

p

?

? ?? ? ? ?

P L i

s . abc

s

? ? 0 ? ?

L M

? 0

p

? ? 0 0 ? ?

L ? 2 M ? p

.

1

Avec L _p = l _f #177; L_ms et M = -- 2 Lp

(I-23)

r ?

? ?

L

Et pour le second terme :

[P ][Tabc ]aim

? ? 0 0 ?

aim ?

0 0 0 ?

0 0 0 ? ?

(I-24)

Remarque importante:
Transposé sur l'axe d, le flux créé par les aimants (déterminé par un essai) doit être
normalement majoré du coefficient 3/2 (unicité de la matrice de Park). On aurait donc:

? ???daim = ?aim

?

? ? daim ? 3 ? ? aim

2

Pt

Etant donné que nous utilisions des valeurs non primées, on en fera de même pour 'gdaim

.... ....

? D'après la nouvelle notation, on a : lⁱdaim = Taim

1 ?

?

? ?

l _f + 3 2 Lms

ds

i
i
i

0 0

1 ?

?

? ?

?

qs

0 l _f +3 2 L 0

ms

? ? ds

?

?? qs ? ? 'Fos

0 0

r
[

r
[

l_f

os

L'expression des flux dans PARK est :

? ? ? ? ?

daim

? ? ?

? 0
? ? ?

? ? ? ? 0 ? ?

(I-25)

(I-26)

?

? i ?

ds

? ?

?i qs ?? ? i ? os ?

?

? ? L i ? ?

ds d ds daim

? ?

avec ? daim ? aim

? et

3

L d ? L q ? L s ? l f ? L ms L o ? l

2 et

Attention aux valeurs primées.

f

? ? ?

ds

? ?

?? qs ?? ? ? ? os ?

d

? ?

0 L 0 ? q ?

? ? 0 0 L ?

o ?

? L 0 0 ?

1 ?? 0 ?

0 ? ?

? ?

?

? ?

.

?

? daim

?

? L i

qs q qs

? L i

os o os

?
?

Ld : Inductance synchrone d'axe direct (longitudinale).

L_q : Inductance synchrone d'axe en quadrature (transversale). L_s : Inductance synchrone.

En remplaçant Ilid_s , Wqs ,Ios par leur expression dans les relations (I-21), on obtient :

v ds = R _s i _ds + L_d

-- co L _q i _qs +

di^fdaim

dt

di ds

dt

Avec

L d = L_q

Le flux 'k_m est constant par rapport au temps = Le dernier terme de ^l'expressionprécédente s'annule.

?

?

I

ds

di

?

w

dt

di qs

dt

di os

dt

v ds = R _s i _ds + L_d
v qs = R _s i _qs + L_q
v os = R _s i _os + L_o

L q iqs

#177; wL d ids #177; W taim

(I-27)
D'après cette remarque, les deux derniers termes de v _qs correspondent à des f. e.m de

rotation puisqu'elles sont créées par la rotation d'un flux qu'il soit variable ou non. On pose :

e qs = W ( L _d i ds #177; lifdaim ) et e_ds = L_q0) i

qs

v ds = R _s i _ds + L_d

v qs = R _s i _qs + L_q

v R i L

? ?

os s os o

ds

di

?

eds

dt

qs

di

+

eqs

dt

dt

di

os

avec

e ds ? L q ? i _qs et e qs ? ? ? L _d i ds ? ?? daim ?

¹daim = +aim

et

3

L _d = L _q = l _f + L ms L o ?

2 et

(Attention : Ce sont en réalité toutes des valeurs primées)

l_f

(I-28)

A partir de ces expressions, on peut schématiser le système de la façon suivante :

L _d = l _f + 3 2Lms

L_q = L_d = l_f + 3 2Lms

i _qs

vds

R_s

e _qs = L_dco i_ds + CO 41 daim

ids

R_s

e ds = L q oiqs

v qs

ios R_s L_o =l f

vos

Fig. I-3.4 : Loi d'Ohm des circuits équivalents d'axes d, q et o.

La puissance électrique instantanée, fournie par le réseau et consommée par le moteur, est de la forme :

P _e = v _as i _as + v bs i bs + v cs ics

? En appliquant Park, on obtient la nouvelle expression :

3 P e = 2

( v ds i ds + v qs i qs + 2v os i os )

Si on exprime la puissance en fonction des flux et des courants, on obtient :

31^-

^e 2 L

P = IR _s i ds 2 + ids

dtlj d ? d ?

1
I J

ds 2 qs 2 os

? i ? ? ? R i ? i ? i ? ? ? 2 R i ? 2 i

ds qs s qs qs qs ds s os os

dt dt dt

On organise chaque élément de l'expression pour faire apparaître le terme correspondant à la puissance électrique absorbée par le moteur et transformée en puissance mécanique transmise à l'arbre du moteur (dernier terme).

3 3 ? d ? d ? d ? ? 3

2 2 2 ds qs os

P ? R i

? ? i ? 2 i ? ? i _dt i

? ? i ? ?

? i i ?

e s ds qs os ds qs os qs ds ds qs

?? 2 ?? ? ? ?

2 2 dt dt 2

On obtient ainsi :

3

? ?

T em ? Np ⁱqs ds ? ⁱds qs

?? ? ?

??

2

(I-29)

L'expression peut se simplifier en remplaçant les flux par leur expression. On obtient:

3

T em ? Np _daim i qs

??

2

Il est très intéressant de constater que le couple électromagnétique est directement
proportionnel au courant i _qs . On se retrouve donc dans les mêmes conditions que le

moteur à courant continu.

T_em = T_q = KT iqs

avec

·
·

p'I`daim en N.m/A : Constante de couple_et

T_d = 0

3

K = ₂N

T

(I-30)