Influence de la dispersion aléatoire faible sur la transmission par solitons et du mélange à quatre ondes dans les fibres optiques

3.3 Comparaison entre la dispersion stochastique faib le et la dispersion gérée

3.3.1 Introduction

En 1995_' la technique de la dispersion gérée était d 'ab ord e mployée par SUZUKI et al. dans les lab oratoires KD D [1_'3] ; la méthode impose essentielle ment a la dispersion une d ép endance a un terme p ériodique variant rapid e ment qu'on ob tient en grand es valeurs négatives ou positives. La gestion de la dispersion (D M ^C3) a été avec succés re marquable dans l'amélioration de la performance des systémes de transmission par fibre optique mono mod e. C ette technique a montré qu'elle était efficiente dans la réduction du p rocessus non linéaire d e la modulation d e phase croisée et d e la génération des co mp osantes du Mélange a quatre ond es (FWM).

⁴³ DM : Dispersion management

Toutefois_' la dép end ance de la dispersion de la fréquence fait d e l'utilisation d e la technique d e la dispersion gérée_' une utilisation p rovisoire vicieuse d evant étre dép assée pour les systémes du multiplexage en longueur d 'ondes (WD M ) [1].

3.3.2 Comparaison entre la dispersion stochastique faib le et la dispersion gérée

Nous revisitons l'équation de Schrodinger non linéaire (S N L) adimensionnée (3.1) :

iu z +d

( z) g ( z ) u2 u =0 3.6 ( ) tt 2

oft la dispersion d ( z) est prise co mme variant en fonction de z dans deux directions différentes. Le cas d e la faib le dispersion stochastique prescrit que le coefficient d e dispersion s'écrive co mme selon les relations (3.2) et (3.3) ; le cas de la gestion de dispersion (D M ) est d onné par la forme [3] :

d ( z) = 1 + ¹ 4 z (3.7)

z_a za ~

oft z_a est le pas d 'amplification sans dimension ( z_a = 0,1 ) et :

~

A( c)H A₂

~

A₁ 0

~

1.

A₁ -0<

C

C

C

?

?

?

1

1
4

3

4

(3.8)

Ici	z ?= ; A 1 = 4s et A2 = -4s oft «s » est app elée paramétre « force de la carte d e

z_a

dispersion » ou « map strength ».

Figure 3.4 Représentation des 3 cas de dispersion utilisés dans ce mé moire. s= 0.125_' z est sans dimension.

A la figure 3.4 nous visualisons trois cas d e dispersion :

(i) dispersion constante ( d ) = 1

(ii) dispersion p ériodique a force de la carte d e dispersion s = 0,1 25

(iii) dispersion aléatoire faib le avec intensité du bruit D = 0,005

Pour le cas d e dispersion p ériodique_' on a une variation brusque d e la dispersion suivie d 'une dispersion constante_' ensuite le cycle recommence mais de maniere ord onnée et contrô lée. C 'est contraire a la dispersion aléatoire qui elle est une succession d e variations b rusques désordonnées. O n re marque égale ment que la dispersion p ériodique est d éfinie co mme ayant deux valeurs d e signe contraires. Elle est donc a la fois négative et positive par intervalle. Pour ce qui est d e la dispersion stochastique_' elle est plus en clin a etre positive que négative.

Nous prouvons cela en utilisant une théorie d e prob ab ilité élé mentaire [8].

O n se sert des relations (3.2) et (3.3)_' nous définissons la variable aléatoire X :

X d( z ) --( d) (3.9)

Ici X est une variable aléatoire normale ment distrib uée qui représente le p rocessus du bruit b lanc gaussien donné par ( z) . En p renant ( d) = 1 ' nous calculons la prob ab ilité pour qu'on ait X < -- 1 (équivalent a la prob ab ilité d e trouver d ( z ) < 0 d énoté P ( X < -- 1) ):

x 2

-

( ) ~-

1

P X 1

< - =

1 e ²

-?

27rDz

(3.10)

^Dz dx

2

En p osant u 2 = ^x= dx = 2Dzdu
2Dz

' x = - 1 u = ; x --> -0 u --> -0

2Dz

1

1 1

1

( ) ~ - ~ -

e du

- u 2 -

< - =

1 Dz = 2 ~ Dz u 2

2 Dz

P X 2 2

~ e du

2/rDz -- 2R- --

1

~ - ~

u 2

1 -

P X 2

( )

< - = ~

1 2 Dz e du ~ 3.11

( )

2 ? ~ -?

~ ~

D est l'intensité du bruit et z = zfinal est la distance entre les différentes localisations des

interactions inter - solitons considérées ici. En p renant les parametres concrets : D = 0,05 et z = zfinal = 2,5 . Nous avons^" :

1

~ 1 -

~

2

P X

( )

< - = ~-

1 2 2

~ Dz e ^u du ~ = 0, 0023

~

2R- -- ~

P ( X < - 1 ) = 0,0023 ( 3.12)

C ela décrit que la prob ab ilité pour que d ( z ) > 0 est extremement grand e.

Plus haut (p aragraphe 2.2 du chapitre 2) nous avons montré l'existence d 'une condition d e résonance qui p eut etre utilisée pour p rédire a quelles fréquences les co mp osantes d eviennent imp ortantes. C ette condition de résonance a été montrée co mme tenant du cas d e la gestion d e dispersion (D M ) [3].

⁴⁴ Nous avons intégré cette expression numériquement sur MATLAB en utilisant la fonction « trapz »

S.V.P Ne pas distribuer / Please Do not distribute

R

2

Figure 3.5 C o mparaison d e la variation d u rapport R = uFWM2 en fonction de z p our le cas

u soliton

d e la faible dispersion aléatoire pour D = 0,0 1 ; 0_'03 ; 0_'05 et pour le cas de la gestion d e la dispersion (D M ) s=1. z est sans dimension.

La figure 3.5_' montre la co mp araison entre l'efficacité d e la dispersion gérée et celle d e la dispersion aléatoire faib le sur le FVVM . O n observe que pour la valeur D = 0,0 1 ' la technique d e la dispersion contro lée est plus efficace que celle d e la dispersion stochastique. C ep endant pour D = 0.03 et 0.05_' la dispersion aléatoire faib le est plus efficace que la gestion d e la disp ersion_' ceci_' pour z 1 . O n re marque que pour D = 0,03 ' la technique d e gestion d e la dispersion (D M ) est comparable a celle de la dispersion aléatoire.

C e résultat est surp renant puisque les types de dispersion utilisés sont grand e ment différents.

Dans le cas de la dispersion gérée (D M )' le coefficient d e dispersion d ( z) est une fonction p ériodique du p aramètre d 'évolution z_' qui varie rapid e ment.

Pour le cas de la dispersion stochastique faib le_' toutefois_' d ( z) est une fonction non p ériodique qui a une très grand e prob ab ilité a être positive ap rès la collision.

En résumé_' nous p ouvons dire que la dispersion stochastique faib le est grand e ment utile dans la réduction des co mp osantes du mélange a quatre ondes (cas D = 0.03 et 0.05) et nous affirmons que cette méthode est b ien plus efficace que celle générale ment utilisée et plus

connue_' a savoir la dispersion contrô lée (cas D = 0.05). La propagation dans les fibres op tiques mono modes utilisant le multip lexage en longueur d 'onde (WD M )' se trouve améliorée si l'on introduit des processus stochastiques de faib le intensité dans les parametres d e transmission.