I. Processus Aléatoires Stationnaires et
Processus ARMA
Introduction
La statistique se préoccupe de porter des jugements sur
une population à partir de l'observation d'un échantillon de
cette population. La plupart du temps l'ordre dans lequel sont
échantillonnées les observations n'a pas d'importance. L'exemple
le plus simple que l'on puisse prendre est celui des sondages d'opinions.
L'analyse des séries temporelles est très
différente de l'analyse statistique habituelle car l'ordre des
observations revêt une importance primordiale. Une série
temporelle est définie comme une suite d'observations indexées
par le temps. On peut prendre comme exemple en économie ou en finance
une série : de prix, de taux d'intérêt, etc. Mais on peut
trouver bien d'autres exemples dans les autres disciplines. Les séries
temporelles peuvent être observées de manière continue ou
discrète. Dans ce mémoire, on ne considère que des
séries discrètes observées à intervalles
réguliers. Certaines séries peuvent être observées
à tout moment, même si on choisit de ne les observer qu'à
certains moments. Par exemple les prix, les taux d'intérêt, . . .
Ce sont des flux. Par contre d'autres séries sont définies comme
des accumulations de valeurs et doivent être observées à
intervalles fixes. Ce sont des stocks. Essayez de comprendre la
différence entre une observation trimestrielle du PIB et une observation
annuelle de celui-ci. La différence entre ces deux types de
séries peut être importante quand il s'agira de les
modéliser. On a le sentiment en observant un graphique de ces
séries que la valeur prise au temps t dépend
fortement de la valeur prise au temps t -1. Le processus qui
les engendre est dynamique. Le problème est alors de trouver le
modèle pratique qui approchera le plus possible le processus
théorique et ensuite de l'estimer.
Une fois cette étape franchie, on pourra faire de la
prévision ou du contrôle avec ce modèle. Les types de
modèles que l'on peut considérer sont nombreux. En statistique on
va s'intéresser à modéliser une série
univariée par exemple au moyen d'un modèle ARMA, ou bien
considérer plusieurs séries à la fois et les
modéliser conjointement dans un modèle multivarié ou
modèle VAR.
La modélisation statistique usuelle suppose que les
séries sont stationnaires. Cependant la plupart des séries que
l'on traite sont non stationnaires, c'est à dire par exemple qu'elles
croissent dans le temps. Il est en général toujours possible de
trouver une transformation ou
un filtre qui puisse rendre stationnaire les séries non
stationnaires. Mais la détermination exacte de ce filtre n'est pas
triviale. Le but est de prendre en compte la nature non- stationnaire des
données économiques ou financières en montrant les
problèmes que cela pose. C'est toute la question des racines unitaires
et de la cointégration. Dans ce chapitre on présente le cas
univarié, certains outils mathématiques et modèles simples
employés par la statistique des séries temporelles.
La branche de la statistique mathématique qui
s'intéresse aux séries temporelles a développé
plusieurs modèles de représentation, dont nous allons
brièvement rappeler les plus simples. Il s'agira de préciser
quelques notions sur les modèles AR, MA, ARMA et quelques outils
mathématiques qui leurs sont reliés.
I.1 Définition d'un Processus stochastique
Un processus stochastique est une suite de variables
aléatoires réelles indexées par le temps
{X t , tE cents ?
Ici t appartient à un espace discret, ce
qui définit un processus en temps discret. Un processus stochastique est
donc une famille de variables aléatoires { X t , t E
cents } c'est à dire de
fonctions mesurables de l'espace S des échantillons
à valeurs dans . Pour chaque point s de l'espace des
échantillons S, la fonction qui à t associe X
t (s) est appelée la trajectoire du
processus. Les observations successives forment l'histoire
(information) du processus.
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