I.2 Processus stationnaires
La notion de stationnarité joue un rôle central dans
la théorie des processus aléatoires, et particulièrement
en analyse des séries chronologiques. Dans plusieurs problèmes du
monde réel, on rencontre des processus aléatoires qui
évoluent dans un état d'équilibre statistique, dans le
sens où les propriétés probabilistes et statistiques des
processus ne changent pas dans le temps, de tels processus sont dits
stationnaires.
On commence par donner la définition d'un processus
stationnaire au sens strict, et ensuite celle de la stationnarité du
second ordre.
· Processus strictement stationnaire
(stationnarité forte) :
Grossièrement, un processus aléatoire est dit
strictement stationnaire si sa loi de probabilité est invariante par
translation dans le temps. Mathématiquement, le concept de
stationnarité stricte est donné par la définition
suivante:
Définition :
Un processus stochastique {Xt,te
Z} est dit strictement (ou fortement) stationnaire si pour
tout ne *, et pour tout n-uples (
t1 , ..., tn)e Z
n , la distribution de probabilité conjointe du
vecteur(Xt1+h,...,Xtn+h) est la
même que celle de ( Xt1 ,..., Xtn
),Vhe Z . Autrement dit, si on a :
P(Xt1 x1,...,X4,
xn)=P(Xt1+h
x1,...,Xtn+h
xn),V(x1,...,xn)e
Rn,Vhe Z
On note que toutes les caractéristiques (c'est à
dire tous les moments) d'un processus strictement stationnaire si elles
existent sont invariantes dans le temps. Cette définition de la
stationnarité est, cependant, trop forte et très exigeante et
repose sur la connaissance de la loi conjointe du processus qui ne peut
être connue en pratique, sauf dans des cas très spéciaux.
Toutefois, plusieurs propriétés essentielles des processus
aléatoires peuvent être obtenus à partir des moments du
premier et du second ordre.
La stationnarité de ces deux moments peut donc être
suffisante pour expliquer la stationnarité du processus. Pour cette
raison, on a besoin d'un concept de stationnarité moins fort et qui peut
être rencontré dans la pratique.
· Processus faiblement stationnaire (du second
ordre) :
Considérons un processus stochastique de second
d'ordre{ Xt,te Z} .
Définition Un processus est stationnaire
au second ordre si: E(Xt ) =
E(Xt+h ) = it (de moyenne
constante).
Vte Z,
E(Xt2)< oo
cov(Xt,Xt+h )=
EL(Xt--
pt)(Xt+h--pt+h)1=
y(h )
La fonction y(h) est dite fonction
d'autocovariance du processus. Remarques
-- 1. La fonction d'autocovariance d'un processus faiblement
stationnaire dépend seulement de la différence des instants.
-- 2. Dans la classe des processus du second ordre, il est
clair que la stationnarité stricte implique la stationnarité
faible (la réciproque n'est pas vraie, sauf pour les processus dits
Gaussiens).
Un processus{ Xt , t
Z} est dit Gaussien si toute sous-famille finie du
processus constitue un vecteur Gaussien. Autrement dit, pour tout ( )
n E N t t n E Z ,
le vecteur( X t 1 ,..., X t n )
* , 1 ,..., n
est Gaussien.
Théorème de Wold
Un processus stochastique non paramétrique se
définit à partir de la distribution conjointe des observations ou
de ses premiers moments. Un processus stochastique paramétrique se
définit au contraire à partir d'un mécanisme de
génération qui est indexé par des paramètres.Il est
possible de caractériser ce mécanisme de manière
très générale au moyen du théorème de Wold
(1954). Ce théorème montre que tout processus stationnaire peut
être représenté de manière unique par la somme de
deux composantes indépendantes, une composante régulière
parfaitement prévisible parfois appelée déterministe et
une composante stochastique.
Théorème 1 Soit un processus
stationnaire? t ) t
y . Il est toujours possible de trouver une
composante régulière dt et une
composante stochastique z t telle que:
yd z
t t t
= +
|
?
z b ?
t i t i
= ? ?
i o
=
|
Où ? ?t , tE cents}un
bruit blanc.
|
Ce théorème est à la base de la
modélisation des séries temporelles stationnaires. La composante
stochastique est exprimée sous la forme de ce que l'on appelle un
processus moyenne mobile infini. Un des buts de la modélisation consiste
à approximer cette moyenne mobile infinie par un processus ayant un
nombre fini de paramètres. C'est ce que l'on verra en étudiant
les processus AR, MA et ARMA.
· Processus bruit blanc (White
noise)
Plus simple processus stationnaire en analyse des séries
temporelles est appelé : processus bruit blanc 6 {
ct , tE Z } qui est une
séquence de variables aléatoires non corrélées
de
moyenne nulle et de variance constantea? 2
.
6 Ce terme de la physique, faisant référence au
spectre de la lumière blanche.
Le fait que les variables aléatoires (
t ) t
c soient mutuellement non
corrélées (hypothèse d'orthogonalité), nous permet
de donner la fonction d'autocovariance de ce processus par:
r
2 0
y C
si h
( ) cov( , ) ( )
h E C
®~
C C + C C +
t t h t t h ~ 0 sinon.
Par conséquent, la fonction d'autocorrélation est
donnée par :
|
PC
|
r
1 0
si h
( )
h ®~ ~ z
0 0
si h
|
I.2.2 Fonction d'autocovariance
La suite de toutes les autocovariances d'une série
contient toutes les informations sur la mémoire de cette série.
On l'estime au moyen de :
t 1
y à( )
h
T h
-
~
( )( )
X X X X
t t h
- -
-
1
T
Avec
1 T
X X
~
t
T
t 1
On utilise T observations pour calculer la moyenne et la
variance, alors que pour calculer y(h) on utilise seulement
T - h observations. Donc quand h --* T,
l'estimateur de y(h) tend
vers zéro si le processus est stationnaire en covariance.
Si cette condition de stationnarité est vérifiée, alors
l'estimateur yà(h) est un estimateur consistent de
y(h).
Propriétés
a) La fonction d'autocovariance
y(h) satisfait la propriété suivante :
y(-h)=y(h) VhE Z;
(fonction paire).
Donc on peut, dans la pratique, se restreindre aux
autocovariances aux retards positifs, c'està-dire que l'on peut, sans
perte de généralité, prendre h E .
b) On peut facilement, en utilisant
l'inégalité de Cauchy Schwartz, vérifier la
propriété suivante :
y (h) ~y(0)=Var(X
t ) Vt,hEZ.
| 
