II.1. Prix de réserve :
C'est le prix de vente (achat) au dessous (au dessus) duquel
le market maker n'accepte pas d'échanger. Ce prix de réserve est
le prix auquel le teneur de marché est indifférent entre acheter
ou vendre une quantité Ql ou ne pas échanger du tout.
Ces prix ne représentent pas les prix optimaux des market maker mais ils
ont un rôle important dans l'analyse de la concurrence entre les teneurs
de marché.
La richesse finale du market maker lorsqu'il ne fait
aucune opération et dont la position initiale est
Ii :
Wi(0) =
Ci + Ii .V
Ci : le cash dont dispose le
ième market maker.
La richesse finale du market maker est Wi(A)
(Wi(B)) lorsqu'il vend au prix A (achète au prix B). Cette
richesse s'écrit :
Wi(A) = Ci + Ii .V +
Ql . (A-V) : lorsqu'il vend.
Wi(B) = Ci + Ii .V -
Ql . (B-V) : lorsqu'il achète.
Les prix de réserve du ième market
maker à la vente et à l'achat sont respectivement Ar
(Ii) et Br (Ii) tel que :
E [U(Wi (0))] = E [U(Wi (Ar
(Ii)))] (1)
E [U(Wi (0))] = E [U(Wi (Br
(Ii)))] (2)
Cas d'arrivée d'un ordre d'achat :
Vendre au prix A
Ne rien faire
Espérance de gain = E[U(Wi(A))]
Espérance de gain = E [U(Wi (0))]
Décision du market maker
Cas d'arrivée d'un ordre de vente :
Acheter au prix B
Ne rien faire
Espérance de gain = E[U(Wi(B))]
Espérance de gain = E [U(Wi (0))]
Décision du market maker
Le prix de réserve demandé ou offert
(Ar ou Br) du teneur du marché le rend
indifférent entre ces deux décisions (échanger ou ne rien
faire).
La résolution du système des deux
équations (1) et (2) permet d'obtenir les prix de réserve tel
que :
Avec :
Ar (Br) représente le prix
minimal (maximal) auquel le teneur de marché est prêt à
vendre (acheter). Plus un teneur de marché souhaite vendre de l'actif
risqué, plus son prix de réserve demandé (offert) est
faible (élevé). On peut montrer que :
 et
Les prix de réserve sont des fonctions croissantes en
actif risqué c'est-à-dire de l'aversion au risque de market
maker. Plus sa position est longue, plus le market maker est exposé au
risque, plus il désire vendre. Plus sa position est courte, plus il
désire acheter. L'impact de la dotation sur le désir d'acheter ou
de vendre est appelé : effet position.
L'effet position peut être analysé en
réécrivant les deux formules des prix de réserve de la
manière suivante :
(3)
(4)
Après une transformation exponentielle qui
reflète la forme de la fonction d'utilité, les prix de
réserve sont exprimés comme des espérances
calculées à partir d'une probabilité ajustée ë
(Ii). Cette probabilité reflète l'effet
position : lorsque Ii est élevée, ë
(Ii) est faible et les prix de réserve sont faibles.
Analogie entre prix de réserve et
coût :
L'espérance d'utilité du ième
market maker à l'achat ou à la vente peut se
réécrire en fonction du prix de réserve :
E[U(Wi(Ai))] = E[U(Wi(0))] .
exp[-ã.Ql(Ai-Ar(Ii))]
E[U(Wi(Bi))] = E[U(Wi(0))] .
exp[-ã.Ql(Bi-Br(Ii))]
Le surplus du market maker lorsqu'il vend ou achète
est :
E[U(Wi(Ai))] - E[U(Wi(0))] =
E[U(Wi(0))] .{
exp[-ã.Ql(Ai-Ar(Ii))] - 1}
> 0
E[U(Wi(Bi))] - E[U(Wi(0))] =
E[U(Wi(0))] .{
exp[-ã.Ql(Bi-Br(Ii))] - 1}
> 0
Le surplus du teneur de marché quand il vend est
d'autant plus grand que son prix de vente effectif Ai soit
supérieur à son prix de réserve Ar
(Ii). Et inversement son surplus quand il achète est d'autant
plus grand que son prix d'achat effectif Bi soit inférieur
à son prix de réserve Br (Ii). Le surplus
est égal à zéro lorsque le prix est égal au prix de
réserve :
(Ai = Ar(Ii) ou Bi
= Br (Ii)).
Les prix de réserve peuvent donc être
interprétés comme des « coûts de
production » de la liquidité. Donc l'analyse de la concurrence
doit permettre de déterminer comment un teneur de marché peut
pratiquer des prix différents de ses prix de réserve sans perdre
toute chance d'effectuer une transaction.
Fourchette de prix et aversion au
risque :
Si le comportement des teneurs de marché est
parfaitement concurrentiel, ils vont afficher des prix offerts et
demandés tel que le surplus est égal à zéro. Ils
pratiquent alors des prix à l'achat et à la vente qui
correspondent au prix de réserve. Leur fourchette est égal
à :
Ar (Ii) - Br (Ii)
appelée fourchette de réserve.
D'après les équations (3) et (4)
l'inégalité suivante peut être montrée :
Br (Ii) < ë (Ii) .u
+ (1- ë (Ii)) .d < Ar (Ii)
D'après cette inégalité la
fourchette de réserve est toujours positive à cause de l'aversion
au risque. L'existence de la fourchette n'est pas un phénomène
qui disparaît lorsqu'on suppose un comportement parfaitement
concurrentiel des teneurs de marché. Elle résulte aussi de
l'aversion au risque.
Dans le cas où le market maker possède une
position nulle (Ii = 0), ë (Ii) = Ï et par
conséquent on aura :
Br (Ii) < [Ï .u + (1- Ï)
.d] = E (V) < Ar (Ii)
C'est-à-dire que les prix de réserve encadrent
la valeur fondamentale de l'actif risqué. L'écart entre les prix
de réserve et la valeur fondamentale constitue la prime de risque
exigée par les market maker pour faire une transaction de taille
Ql.
| 
