Microstructure et Performance des Marchés Financiers

II.2. Analyse de la concurrence entre les teneurs de marché :

II.2.1. Les positions des teneurs de marché sont connues :

§ Cas d'un ordre d'achat :

Les teneurs de marché sont soumis à la concurrence de Bertrand. Il s'agit d'un modèle de concurrence imparfaite où les market maker fixent leurs prix et les investisseurs désirent échanger en fonction de ces prix (price takers).

Quand un ordre d'achat est transmis par un investisseur, tous les teneurs de marché déterminent simultanément des prix offerts : (A_i) i = 1,................,N. L'ordre est exécuté auprès du teneur de marché qui affiche le prix offert le plus faible.

Quand un teneur de marché détermine son prix de vente, il ne connaît pas les prix pratiqués par ses concurrents.

Soit P (A_i) : probabilité pour que le i^ème market maker affiche le prix le plus faible lorsqu'il vend au prix A_i . On a P (A_i) = P (A_i= min (A_j) j = 1,..............,N).

La fonction objective de i^ème market maker :

Max_Ai [P (A_i) . E(U(W(A_i))) + (1- P (A_i)) . E(U(W(0)))]

= Max_Ai [P (A_i) . (E(U(W(A_i)))- E(U(W(0)))) + E(U(W(0)))]

On note: A_i^* la solution optimale.

Un teneur de marché ne peut pas pratiquer un prix inférieur à son prix de réserve car son gain va être inférieur à celui qu'il réalise s'il ne fait aucun échange. Le problème posé est qu'en augmentant son prix de vente le surplus du teneur de marché augmente mais la probabilité de réaliser un échange diminue. Son prix optimal dépend des prix pratiqués par ses concurrents. Les prix optimaux des teneurs de marché sont alors interdépendants.

Les prix optimaux sont déterminés par le concept d'équilibre de Nash qui affirme que : soit un jeu en information complète et parfaite c'est-à-dire que tous les market maker connaissent les caractéristiques de leurs concurrents et ont la même information sur la valeur finale de l'actif.

Dans un équilibre de Nash, les prix cotés par chacun des teneurs de marché sont optimaux étant donnés les prix cotés par ses concurrents.

Equilibre :

Soit : i=1 le market maker qui a la position la plus courte

i=N le market maker qui a la position la plus longue

En tenant compte de l'effet position les prix de réserve sont décroissant en fonction de la dotation on peut écrire :

A_r,1>A_r,2>...................> A_r,N-1> A_r,N 

A_r,1 : Le prix de réserve du teneur de marché qui ne désire pas vendre.

A_r,N : Le prix de réserve du teneur de marché qui désire vendre.

Quand les positions des teneurs de marché sont connues, ces prix offerts constituent un équilibre de Nash de la concurrence entre les market maker dans le cas d'un ordre d'achat.

A_N^*= A_r,N-1- å å très faible>0

A_i^*= A_r,i

La stratégie optimale du i^ème market maker est de coter le prix de vente A_i^*= A_r,i quand il anticipe que les autres teneurs de marché pratiquent les prix ( A₁^*,........, A_i^*,........., A_N^*).

Pour maximiser son surplus le N^ème market maker doit afficher le prix offert le plus élevé par rapport à son prix de réserve ; mais il anticipe que les autres teneurs de marché affichent des prix qui correspondent à leurs prix de réserve. S'il affiche un prix supérieur au prix de réserve du market maker N-1, il est certain de ne pas échanger et son surplus est égal à 0.

Pour avoir un surplus positif, le prix de vente le plus élevé qui peut l'afficher est un prix juste inférieur au prix affiché par le market maker N-1.

§ Cas d'un ordre de vente :

L'ordre de vente est exécuté auprès du market maker qui affiche le prix d'achat le plus élevé.

Soit P(B_i) : probabilité que le i^ème market maker affiche le prix demandé le plus élevé lorsqu'il achète au prix B.

P(B_i) = P(B_i= max (B_j) j= 1,.....................,N ).

Sa fonction objective est :

Max_Bi [P (B_i) . (E(U(W(B_i))) - E(U(W(0)))) + E(U(W(0)))]

B_r,1> B_r,2>........> B_r,i>.......> B_r,N

B_r,1: Le prix de réserve du teneur de marché qui désire acheter.

B_r,N: Le prix de réserve du teneur de marché qui ne désire pas acheter.

Dans ce cas le market maker 1 qui a la position la plus courte bénéficie d'un avantage concurrentiel : son prix de réserve B_r,1 est le plus élevé. Il est certain d'afficher le meilleur prix demandé quand il choisit ce prix tel qu'il soit juste supérieur au prix de réserve du teneur de marché 2.

L'attitude concurrentielle qui reste à ses concurrents est de choisir des prix qui correspondent à leurs prix de réserve.

Quand les positions des teneurs de marché sont connues les prix demandés constituent un équilibre de Nash de la concurrence entre les market maker dans le cas d'un ordre d'achat.

B₁^*= B_r,2+ å å très faible>0.

B_i^*= B_r,i

Alors la meilleure fourchette de prix c'est-à-dire l'écart entre le prix demandé le plus faible (B_c) et le prix offert le plus élevé (A_c) :

A_c- B_c= A_N^*- B₁^*

= A_r,N-1- B_r,2

II.2.2. Les positions des teneurs de marché sont inconnues :

Dans ce cas l'identification de la position des concurrents des teneurs de marché n'est pas possible. Chaque teneur de marché va garder sa fonction objective mais il ne peut pas savoir qu'il détient la position la plus courte ou la plus longue. Alors les market maker ne peuvent pas inférer les prix de réserve de leurs concurrents. Les solutions optimales A* et B* changent.

Equilibre de Nash Bayésien :

Soit un jeu en information imparfaite où les dotations des teneurs de marché sont inconnues de leurs concurrents. Le concept de Nash Bayésien consiste à :

- Chaque teneur de marché joue une réponse optimale aux stratégies de ses concurrents.

- Il sait que ces stratégies reflètent les positions des market maker qu'il évalue correctement (chaque market maker évalue la distribution de probabilité de la position de tous les concurrents en utilisant son information et la loi de Bayés).

Cet équilibre est constitué si les prix optimaux du i^ème market maker A* (I_i) et B* (I_i) qui sont solution du programme de maximisation vérifient que les concurrents déterminent leurs prix par les fonctions A*( . ) et B*( . ).

Les teneurs de marché déterminent leurs prix en utilisant les stratégies de leurs concurrents A*( . ) et B*( . ) s'ils anticipent que ces derniers les utilisent.

Calcul de A*( . ) et B*( . ) :

Le calcul des prix optimaux suppose que les dotations sont reparties sur le support [-R,R] par une fonction F( . ) et que A*( . ) et B*( . ) sont des fonctions décroissantes.

A* (I_i) et B* (I_i) sont des fonctions décroissantes de la dotation. Ceci nous amène au résultat de l'équilibre précèdent : le teneur de marché ayant la position la plus longue (la plus courte) affiche le meilleur prix offert (demandé) et la meilleure fourchette sera :

A_c- B_c= A_N^*- B₁^*

III. FORMATION DES PRIX EN PRÉSENCE D'AGENTS INFORMÉS :

Cette approche suppose que : Agents informés avec une probabilité á > 0, tous les market maker ont une position nulle en actif risqué et que tous les market maker sont neutres au risque.