Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.W E C(H1 (RN) , H* (RN)) et ]c1 > 0 telle que

11W(u)11..(RN ) << c1 11u11pH1(RN ) Vu E H¹ (R^N)

1.4. Multiplicateurs de Lagrange

2.Nous posons

e(u)[v, w] = I

ZI-k 1 1 -1 X1 1211^19 V w dx, Vu,v,w 2 H^1 (R^N)

R^N

Alors e(u) est une forme bilineaire symetrique bornée Vu 2 H¹ (R^N). Il existe un operateur B(u) 2 L(H¹ (R^N) ,H^* (R^N)) tel que

e(U)[V, w] = (B(u)v,w)H*(RN)H1(RN) , Vv,w 2 H¹ (R^N)

De plus B 2 C(H¹ (R^N) , L(H¹ (R^N) ,H^* (R^N))) et

11B(u)11L(H1(RN),H*(RN)) c1 lur^~1

H1(RN) , Vu 2 H¹ (R^N)

En outre 4¹ 2 C¹(H¹ (R^N) , H^* (R^N)) et V(u) = pB(u), Vu 2 H¹ (R^N) . 3.4(u) 2 C²(H¹ (R^N) ,11) avec

o^f(u)v = (P+1) (11r(U))0,*(RN),H1(RN) = 03#177;').1 zlxr^k lur¹ u vdx, Vu, v 2 H¹ (R^N)

R^N

et

Z~⁰⁰(u)[v_; w] = p(p+1)~(u)[v_; w] = p(p+1) z Ixr^k 1711'¹ v wdx,Vu,v,w 2 H¹ (RN)

R^N

1.4 Multiplicateurs de Lagrange

Dans plusieurs cas, trouver la solution d'une équation aux dérivées partielles revient a minimiser une fonctionnelle sur un ensemble de contraintes ou sur une variété.

D'ofi l'utilité de préciser le sens qu'on donne a un point critique ou a une valeur critique sur un ensemble de contraintes.

Definition 1.4.1 Soit X un espace de Banach, F 2 C¹(X, R) est un ensemble de con-traintes

S = {v 2 X; F(v) = 0}

On suppose Vu 2 S, on a F^'(u) _L 0. Si J 2 C¹(X, R) on dit que c 2 R. est valeur critique de J sur S, s'il existe u 2 S et A 2 R. tels que J(u) = c et f(u) = AF^'(u).

1.5. Fonctionnelles minorées

Le point u est un point critique de J sur S et le réel A est appelé multiplicateur de Lagrange.

Remarque 1.4.1 Lorsque X est un espace fonctionnel et l'équation J^'(u) = AF^'(u) correspond a une équation aux dérivées partielles, on dit que J^'(u) = AF^'(u) est l'équation d'Euler Lagrange satisfaite par le point critique u sur la contrainte S.

Donnons un résultat qui établie l'existence d'un multiplicateur de Lagrange.

Proposition 1.4.1 (Voir [16], page 55)

Sous les hypotheses de la définition précédente, supposons que u0 E S est tel que

J(u0) = inf v2S

J(v)

Alors il existe un A E R, tel que

J^'(u0) = AF^'(u0)

1.5 Fonctionnelles minorées

Soit E un espace topologique, une fonction F : E - R est dite semi-continue inférieurement (en abrégé s.c.i.) si pour tout A E l'ensemble {x E E; F (x) A} est fermé.

On dit que F est semi-continue supérieurement (en abrégé s.c.s.) si --F est s.c.i.

Définition 1.5.1 Soit E un espace de Banach, V est une partie de E. Une fonction

J : V - R est dite faiblement séquentiellement s.c.i si pour toute suite (u_n) de V convergeant faiblement vers u E V on a J (x) uim inf J (xn)

fl-400

Une fonction J : H¹ (Ii^") - R est dite faiblement séquentiellement continue (f.s.c) si pour toute suite (u_n) de H¹ (ii^") convergeant faiblement vers u E H¹ (ii^")

on a J (u_n) - J (u) fortement.

1.6 La symétrisation de Schwarz

La symétrisation de Schwarz est une méthode de modélisation de certains problèmes de la physique, et aussi l'un des principaux outils dans l'étude des inégalités isopérimétriques (inégalité portant sur le volume d'une large famille de domaines et le volume de leurs frontières respectives) et les problèmes de compacité.

Plusieurs types de symétrisation sont connus dans la littérature mathématique, on peut citer la symétrisation de Steiner, la symétrisation de chapeau et la symétrisation de Schwarz, que l'on va considérer dans ce mémoire.

La symétrisation de Schwarz est aussi connue comme le réarrangement décroissant des fonctions a symétrie sphérique. Ce type de symétrisation consiste de passer d'une fonction quelconque a une fonction radiale décroissante, tout en conservant la norme dans les espaces L^p, et en faisant décroltre la norme du gradient pour certaines classes de fonctions admissibles, alors pour quelques problèmes variationnels on peut utiliser u (on u est la symétrisation de Schwarz de la fonction u) au lieu de la fonction générale u.

Ces propriétés nous permettent de démontrer l'existence de solutions de quelques équations elliptiques avec perte de compacité on les méthodes classiques sont diffi ciles a utiliser.

1.6.1 Les fonctions a symétrie sphérique

Une fonction u E L (R^N), avec N ~ 2 est dite a symétrie sphérique si pour toute matrice de rotation S agissant sur R^N on a

u (Sx) = u (x), p.p sur RN

On dit alors que u est radiale, car pour r > 0, en posant f (r) = u (x) pour x E R^N tel que x = r, on définit une fonction f p.p sur R+ qui permet de reconstruire

entièrement u.

Si la fonction f est décroissante sur ]0, +oc[ on dit alors que u radiale décroissante.