Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.6.2 Le réarrangement décroissant

Il ya plusieurs réarrangements de fonctions possibles dont l'idée générale est la suivante : Etant donné une fonction u de R^N vers donnée, on cherche une fonction u ayant des propriétés fixées à l'avance et équimesurable avec u, c'est-à-dire vérifiant

Vt > min u, rries ({u^* > t}) = rries ({u > t})

On rries désigne la mesure de Lebesgue et {u > t} est l'ensemble des points x de R^N tels que u(x) > t.

En particulier, cela implique

_I fF (u (x)) dx = F (u^* (x)) dx

RN RN

On F est une fonction mesurable quelconque sur , et signifie notamment que les normes I^I de u et u sont égales.

De plus si u est une fonction de H ₀ (a), alors u est une fonction de H ₀ (B), on B est la boule de même volume que a, et que sa norme est plus petite, c'est-à-dire que

_Z fjVu^*j² dx jVuj² dx

B

Théorème 1.6.1 (Voir [16], page 260)

Soient 1 p 1 et u 2 _II (II\r) une fonction positive.

Il existe une fonction unique u 2 _Ip (RN) telle que u ~ 0 et VA > 0

rries ([u^* ~ A]) = rries ([u ~ A])

Out l'ensemble [u ~ A] est une boule B (0, A).

La fonction u est radiale décroissante et on l'appelle le réarrangement décroissant, ou la symétrisée de Schwarz de la fonction u.

De plus pour toute fonction continue et croissante G : R+ -p R telle que G (0) = 0, on a

_I fG (u (x)) dx = G(u^* (x)) dx

RN RN

Proposition 1.6.1 (Voir [16], page 264)

Soit u 2 _H1 (RN) une fonction positive. Alors la symétrisée u appartient a _H1 (RN) et on a

_I fjVu^*j² dx < jVuj² dx

RN RN