1.6.2 Le réarrangement décroissant
Il ya plusieurs réarrangements de fonctions possibles dont
l'idée générale est la suivante : Etant donné une
fonction u de RN vers donnée, on cherche une fonction u ayant
des propriétés fixées à l'avance et
équimesurable avec u, c'est-à-dire vérifiant
Vt > min u, rries ({u* > t}) = rries ({u >
t})
On rries désigne la mesure de Lebesgue et {u > t} est
l'ensemble des points x de RN tels que u(x) > t.
En particulier, cela implique
I fF (u (x)) dx = F (u* (x)) dx
RN RN
On F est une fonction mesurable quelconque sur , et signifie
notamment que les normes II de u et u sont égales.
De plus si u est une fonction de H 0 (a), alors u est
une fonction de H 0 (B), on B est la boule de même volume que
a, et que sa norme est plus petite, c'est-à-dire que
Z fjVu*j2 dx jVuj2
dx
B
Théorème 1.6.1 (Voir [16], page 260)
Soient 1 p 1 et u 2 II (II\r) une fonction
positive.
Il existe une fonction unique u 2 Ip (RN) telle que u
~ 0 et VA > 0
rries ([u* ~ A]) = rries ([u ~ A])
Out l'ensemble [u ~ A] est une boule B (0, A).
La fonction u est radiale décroissante et on l'appelle le
réarrangement décroissant, ou la symétrisée de
Schwarz de la fonction u.
De plus pour toute fonction continue et croissante G : R+ -p R
telle que G (0) = 0, on a
I fG (u (x)) dx = G(u* (x)) dx
RN RN
Proposition 1.6.1 (Voir [16], page 264)
Soit u 2 H1 (RN) une fonction positive. Alors la
symétrisée u appartient a H1 (RN) et on a
I fjVu*j2 dx <
jVuj2 dx
RN RN
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