Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.7 Variétés différentielles

1.7.1 Homéomorphisme

Définition 1.7.1 Soient E et F des espaces topologiques.

On appelle homéomorphisme de E sur F une bijection de l'ensemble des ouverts de E sur l'ensemble des ouverts de F.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une bijection de E sur F soit homéomorphisme est qu'elle soit bicontinue.

Remarque 1.7.1 Toute bijection continue d'un espace complet sur un autre est un homéomorphisme.

1.7.2 Difféomorphismes et isomorphismes

Soit U c E et V c F deux ouverts dans des espaces normés E et F.

Définition 1.7.2 Un difféomorphisme est une bijection différentiable f : U - V telle que f_¹ soit également différentiable.

Si f : U -p V est un difféomorphisme alors

f o f^~1 = IV et f¹ o f = IU

on peut alors dériver en tous points x 2 U et y = f (x) 2 V

Df (x) 0 D ^(f_1) (y) = IF et D ^(f_1) (y) 0 Df (x) = IE

Ce qui indique que Df (x) et D (f^-1) (y) sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre.

Cela s'écrit

D ^(f_1) (f (x)) = [Df (x)]_¹

Proposition 1.7.1 (Voir [8], page 35)

Si f est un difféomorphisme, alors en tout point sa différentielle est un isomorphisme vérifiant

D ^(f_1) (f (x)) = [Df (x)]_¹

Si de plus, f est C^k alors f_¹ l'est également.

Remarque 1.7.2 L'existence d'un difféomorphisme entre U et V fait que les espaces E et F sont isomorphes. Il ne peut donc exister de difféomorphisme d'un ouvert de Rⁿ vers un ouvert de R^m_; lorsque m =6 n:

Ce que l'on appelle habituellement un "changement de variables" est en fait un difféomorphisme.

1.7.3 Variété topologique

Définition 1.7.3 Une variété topologique a m dimensions est un espace topologique M dont tout point a admet un voisinage ouvert U homéomorphe a un ouvert de m
·

La donnée d'un tel homéomorphisme :

x : U -p V c m

est appelée carte locale de M au voisinage de a. L'ouvert U c M est le domaine de la carte.

1.7.4 Sous variétés

Définition 1.7.4 Une partie M de Rⁿ est une sous variété différentiable de dimension p ii, si pour tout x E M, il existe un voisinage ouvert U de x dans Rⁿ et un difféomorphisme çü : U -p V c Rⁿ de sorte que

ço(U n M) = V n (R^p x {0Rn-p})

Remarque 1.7.3 Si le difféomorphisme est de classe C^tm, M sera dite sous variété de classe C^m.

1.7.5 Variété de Nehari

Nous terminons ce chapitre en introduisant la notion de variété de Nehari. Cette notion nous permettra dans le chapitre 3, de construire, en minimisant l'énergie sur cette variété en question, des points critiques du problème elliptique semi linéaire (EA) soumis aux conditions (H0) - (H4).

Définition 1.7.5 La variété de Nehari, notée NA , est l'ensemble des points u de _H1 (RN) tel que

JA (u) = 0

oh JA est une fonctionnelle, autrement dit

NA = {u E H¹ (R^N)\{0} : JA (u) = 0}

CHAPITRE2
	L'équation de Schrödinger