Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

linéaire

2.1 Introduction

De nombreuses équations aux dérivées partielles, qui permettent de modéliser l'évolution d'un système au cours du temps, peuvent être reformulées sous la forme d'un problème de Cauchy abstrait.

On s'intéresse dans ce chapitre a l'opérateur de Schrodinger P = @ @t -- iL et a l'équation d'évolution qui lui est associée

@u at

-- ilXu = 0, dans D^'(1I x 1I^N) (1.1)

u0 = g

a2

_PN
j=1

@x2 :

j

dont l'inconnu est une fonction u : x W^V - II1. Les arguments de u sont les variables d'espace X1, X2, ..., XN, et le temps t. Le Laplacien _x vaut

2.2 Le problême de Cauchy

Nous étudions le problème de Cauchy avec des données dans 8^'(R^N), 8(R^N) et enfin des données dans H8(RN).

1 [(Tto+,, (to + 63,
·) (t0, .)>] + ¹ (Tt0+€2 -- Tto, (to, -))

~

= lim

j-->

j j

Avant d'enoncer les theoremes, nous rappelons d'abord quelques proprietes de l'espace C^k(I, (a)) et des distributions temperees.

Soient I un intervalle ouvert de IR et t E I, tel que Tt est un element de g(a).

Definition 2.2.1 On dit que (Ti) E C^k(/,g(a)) si

Vcp E C¹₀ (a) l'application de I dans IR, t 7-p (Ti,c,a) est de classe , avec k E MA+ool .

Proposition 2.2.1 Soit (Ti) E C^k(/,g(a)). Pour tout 0 < s < k et pour tout t E I, il existe une distribution Tt ⁽⁸⁾ telle que (TM E C^k'(/, D^'(a)) et

Vt0 E I, V(p E (a)

[(_d ^d_t) ⁸ (⁷¹ ( P)1 (to) = (⁷¹4⁸⁾ 7 ( la) 7

Demonstration. Nous demontrons pour k = 0 et k = 1 et pour k > 1 se demontre par recurrence.

Soit k = 0, on a s = 0, donc il suffit de prendre Tt (°) = Tt.

Pour k = 1, s = 1. Soit to E I et (€j) une suite de reels tendant vers zero.

Tt0+~j ~Tt0

Posons Tj = comme (Ti) E C^k(I, D^'(a)), alors Vcp E Co (a), (Ti,c,a) con-

E,

verge dans IR et qui est egale a M) (Ti, (p)] (to)

Donc ilexiste une distribution Tt(0 1) telle que (Ti (P) (⁷¹4,¹⁾ (P) :

Par consequent, R jⁱ_t) (Tt, cp)] (to) = (Tt(0 1) ^,,a) , et comme le membre de gauche est continu, on a (T⁽₀¹⁾) E C^°(I, g(2)).

Proposition 2.2.2 Soit (Ti) une suite de C^l(I, D^'(a)) et un element de C^°₀ (I x a). Alors l'application t 7-p (Ti₃ (t,.))₁50₁) est de classe C¹ sur I et verifie

dt (Tt (t .)) = (T⁽¹⁾ , ^(t .)) + (Tt, a (t ) ) (*)

ot

Demonstration. Soit to E I et (€j) -p 0 lorsque j oo, on a

d 1

dt '

(Tt (t -)) = lim T +6 N + ci^,-)) (Tt0, (to^,-))]

j^,00 ei K °

D'apres la proposition précédente

lira 1 3 j

(Tt0+c, -- Tt0, (t0,
·)) = (Tt "), (t_' ))

D'autre part, Tt0+c, Tt0 dans D^' (Q) et

j = lira j-+00

~, ( (t0 + ei, .) -- (t0, .)) --> @ ^1at (t0, .) dans C^10 (K), on K est un compact,

tel que supp _j C K. D'on le résultat.

Maintenant on va rappeler quelques remarques sur les distributions tempérées quand va utiliser dans les démonstrations.

Definition 2.2.2 5^'(R^N) est le dual topologique de S(IR^N), c'est a dire l'espace vectoriel des formes linéaires continues de S(R^N) dans R, avec S(R^N) est constitué des fonctions u appartenant a C'(R^N) telles que

Va, E N^N, ]C_a,s > 0, xa8$u(x) ~~ < Ca,0;, Vx E R^N

Remarques 2.2.1 1) Soit T E (R^N) et cp E C^k(I, 8), oit k E N et I est un ouvert de R^N. On pose F(t) = (T,c,a(t,.)), alors F E C^k(I).

2) Soit I un intervalle de R. On peut définir l'espace C^k(I, (R^N)) en disant que (Ti) E C^k(I, (R^N)) si, pour tout cp E S(IR^N), l'application de I dans R, t 7----> (Ti, cp) appartient a C^k(/).

2.2.1 Donnée dans Si(IN)

Enoncons le théoreme qui nous donne l'existence et l'unicité de la solution u du probleme (1.1).

Theoreme 2.2.1 Soit g E S^'(R^N). Alors il existe une unique solution u = (ut) E C^'(R, S^'(R^N)) telle que (1.1) soit vérifié.

Demonstration. a) Existence: Soit t E R.

g E S^'(R^N) implique que g E S^'(R^N), et eitjj2^g E S^'(R^N), posons

211 = P(e^-itle) (1.2)

On a donc ut 2 S'(R^N).

D'autre part u0 = g et pour cp 2 S(R^N) on a

hut; f) = (P1(e-it1°9)' = (la) = (§' ^e-itl°(P)

En utilisant les deux remarques de (2.2.1), on obtient que ut 2 C^cx)(R, 8'(1[8^N)), et comme hut; 0) = 4⁰) on a aussi ut 2 C^°(1, s^'(l^N)).

Rappelons ensuite que u est définie par

(U) =I hut_; (t,.)) dt, 8 2 S(R x R^N) (1.3)

R

Pour 2 S(1I x R^N), montrons que at -- iAu, ) = 0.

(au~ @u ~ ~ ~

u; @

@t ~ i~u_; = @t ; ~ i h~u_; i = ~ ~ i hu_; ~ i

@t

~ ~ Z u; @ = ~ @t + i~ = ~ R				~ ~ ut; @ @t + i~ dt
= 1			~ ~ Z F ^ut; @ @t + i~ dt = ~ R		(fit, F(^a+ i6. )) dt ot
= 1 = 1			(e-it1.129, (at -- i 1.1^2)F^- (t, .)) dt ( ~ ^g; @ @t(e~itj:j2 F (t; :)) dt
Kau at i°u, )= I R		a at (§' (e-itil2 F (t, ·))) dt = 0
Car lira t!1	F (t,) = 0. (puisque D(R^N) s'injecte continCiment dans S(R^N) avec densité)

b) Unicité:

Soit u1 et u2 deux solutions de (1.1), et posons u = u1 -- u2, alors u 2 C^cx)(R,S'(R^N)) et vérifie iAu = 0, u0 = 0.
Montrons que u 0, pour tout 2 S(1I x R^N).

@u ~ ~ ~ Z u; ( @ @t ~ i~u; = ~ @t + i~) = ~ R

~ ~ ut; ( @t @ + i~) (t; :) dt = 0

D'apres (*), on a

~ ~ _Z

ut_; ( @t @ (t_; :) dt =

R

_D E Z

_u(1)

t ; (t_; :) dt ~

R

Z~

R

dt hut_; (t
·)) dt

d

D'où	Z R	D E Z u(1) t ; (t; :) dt ~ R			dt hut; (t ·)) dt -- i I R		hut; (t, ·)) dt = 0
Comme lira t--#177;co			(t, = 0, alors
Z R				D E Z u(1) t ; (t; :) dt ~ i R		hut; 0 (t, .)) dt = 0, 8 2 S(IR. x R^N) (1.4)

D'autre part, on a F u(1)

t = ^{^}u⁽¹⁾

t . En effet Vcp 2 5¹(11e), on a

_{D E D E D E}

F (u(1) u⁽¹⁾ = d

t ); ' = t ; '^ ^{^}u⁽¹⁾

dt hut_; ^{^}'i = dt d h^{^}ut_; 'i = t ; '

On déduit que

Z R	D E Z u(1) t ; (t; :) dt ~ i R		hut; 6, (t, ·)) dt = I R		D E Z ^^u^(1) t ; F (t; :) dt ~ i R		~^^ut;F (0 (t, ·))) dt
=1		DF (t, .)) dt + i I R		(fit, 1-12 F (t; .)) dt

D'où

D F (t, .)) dt + i I

0-'11,1.12 F (t, .)) dt = 0 (1.5)

_Z

R

R

Comme (1.5) est vrai 8 2 S(118 x R^N), en particulier pour telle que F (t, = c^it1~12c(0x(t), on cp 2 S(118^N) et x 2 S(118). On déduit que

_Z [(^f111)' eitil2W) i (^fit' ¹¹² eitil2W)] x(t)dt = 0, Vx 2 S(1R) (1.6)

R

La fonction entre crochets étant une fonction continue de t sur IIB, il en résulte que

(fill)'eit1.12(P) i (^fit' ^{1.12 eit112(P}) = 0, Vt 2 IIB, Vcp 2 S (1.7)

Or d'apres (*) on a _dt (fit, (la) = eitil2 (la) + eit1.12 (la)

D'ou V cp E S(R^N) la fonction t H Cut, eitil2 _(la) est constante. Donc

(fit, e^it1.124⁰) = (fio,4⁰) = ⁰

Soient t_o E R et 0 E S(R^N) quelconque.

La fonction cp^,() = e^-it°106(~) est dans S(R^N). D'on

(¹⁴⁰' ^eit°1
·12w) = ^{(fito, 0)} = 0

Donc fit() = 0 dans S'(R^N),et ut = 0 ,Vt E R. En utilisant (1.3) on aura, u 0.