Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.3.4 Points critiques

Definition 1.3.4 Soit w un ouvert d'un espace de Banach réel X et F : w --! R. une fonction. On dit que m E w est un maximum relatif (resp. un minimum relatif) s'il existe un voisinage V de m tel que pour tout x E cnV, on a f (x) << f (m) (resp f (x) > f (m)) . Un point qui est un maximum ou un minimum est un extremum.

Definition 1.3.5 Soient X un espace de Banach, w C X un ouvert et F E C¹(w, R). On dit que u est un point critique de F, si F^'(u) = 0. Si u n'est pas un point critique, on dit que u est un point régulier de F.

Remarque 1.3.3 Lorsque X est un espace fonctionnel et l'équation F^'(u) = 0 correspond a une équation aux dérivées partielles, on dit que F^'(u) = 0 est l'équation d'Euler satisfaite par le point critique u.

Exemple 1.3.1 L'exemple le plus simple de points critiques d'une fonctionnelle

F E C¹ (w, I) est un point extrémal, c-d-d le point oit F atteint un maximum ou un minimum.

Definition 1.3.6 Soit c E R., on dit que c est une valeur critique de F E C¹(w,R), s'il existe u E w tel que F(u) = c et F^'(u) = 0. Si c n'est pas une valeur critique, on dit que c est une valeur régulière de F.

1.3.5 Continuite et differentiabilite de quelques operateurs

Lemme 1.3.1 (Voir [13] , page 92)

Soit N > 2, k E (0,2) et 1 < p < 1 + _21

Pour z E L^°° (R^N), posons W(u) = z IxI^-k IuI^p-1 u et 4)(u) = I z IxI^-k IuI^P-1 dx,

R^N

alors les propriétés suivantes sont vérifiées