Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.1.2 Rappels sur les espaces de Sobolev

Soit S2 c R^N un ouvert et soit p un reel avec 1 < p < +oo.

Definition 1.1.1 On appelle espace de Sobolev d'ordre un et on note W^12P (a) , l'ensemble des fonctions de L^P (a) dont les dérivées partielles premières au sens des distributions sont des fonctions de L^P (a) , c-d-d

u 2 L^P (Q); 9 gl, g2, gN 2 L^P (Q) tels que

gicp dx, Vcp 2 _c(S2), = 1, N

}

uuxi dx = - f

~

_TIT 1;p (~) =

{

f

~

L'espace W^12P (a) est muni de la norme

11 w 1,p0-) =11kL (-) +

N i=i

~ ~ ~ ~ II

ou axi

~ ~ ~~LP(1)

ou parfois de la norme équivalente

Ilull (n) = (n) +

N i=i

~ II ~ ~ ~

ou axi

~ II ~ ~ ~

^PLP (g1))

1 p

Si p = 2 alors W¹;² (Q) = H¹ (Q) est muni de la norme

1

L2 2 (n))

2

N
i=i

ou

~ II ~ ~ ~

= 1Iu11²L²(n) +

~ II ~ ~ ~

axi

et du produit scalaire

lug V)Hin = (u, V)L202) +

XN ( &IL a V

z=1 - z) L2 (n)

49x;' ox
·

Remarque 1.1.2 Nous désignons par W₀ ¹'^P (a) la fermeture de cr (Q) dans W^I-P (a) .

En particulier pour p = 2,

_w0 1_;2 (-2) _=H10 (-2)

la fermeture de C'° (Q) dans H¹ (a) , est un espace de Hilbert pour le produit scalaire de H¹ (Q).

Voici maintenant quelques résultats fondamentaux concernant les espaces de Sobolev, il s'agit des théorèmes d'injection de Sobolev qui sont très utiles dans les applications. Définition 1.1.2 Soient E et F deux espaces de Banach. On dit que E s'injecte con-

tinüment dans F et on note E ,! F si les conditions suivantes sont vérifiées (i)E est un sous-espace de F.

(ii) C > 0 telle que

kuM_F ~ C MuM_E , pour tout u 2 E

Autrement dit, toute suite convergente dans E est convergente dans F.

Définition 1.1.3 Soient E et F deux espaces de Banach. On dit que l'injection de E dans F est compacte et on note E ,!,! F si

(i)E s'injecte continüment dans F.

(ii)L'application I : E ~! F est compacte.

Autrement dit, toute suite bornée dans E est relativement compacte dans F. Théorème 1.1.1 (Sobolev, Gagliardo, Niremberg, Voir[5], page 162)

Soit 1 < p < N, on pose p^* = Np

N~p (p^* est dit "exposant critique de Sobolev" de p),

alors

_W1,P (RN) _{C L}°^* (_RN)

et il existe une constante C > 0, telle que

kuM_Lp* ~ C kVuM_Lp , Vu 2 _W1_' (_RN)

Corollaire 1.1.1 Soit 1 < p < N. Alors

_W1_' (RN) C L (R^N) , Vq 2 [p, p^*]

avec injection continue.