Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

Introduction générale

Les équations aux dérivées partielles permettent d'aborder d'un point de vue mathématique des phénomènes observés, par exemple dans les domaines de la physique et de la chimie. Les situations dépendant du temps se traduisent plus particulièrement par des équations d'évolution tenant compte d'éventuelles interactions entre objets et événements.

L'équation de Schrodinger est l'équation de base de la mécanique quantique décrivant l'évolution dans le temps du vecteur d'état ( ) d'un système quantique arbitraire. Elle est équivalente a un problème aux valeurs propres dans la théorie des espaces de Hilbert comme Von Neumann l'a démontré. On la rencontre lors de la description de phénomènes assez variés, que ce soit dans l'optique quantique (laser), la physique atomique (supraconductivité, condensation de Bose-Einstein), la technologie électronique (semi-conducteurs, transistors), la physique des plasmas, l'astrophysique, la microscopie électronique, la chimie ou encore la biologie.

L'équation de Schrodinger a été établie sous sa forme primitive en 1926 par Erwin Schrodinger et a été généralisée par Paul Dirac quelques années après. Initialement, elle reprenait les idées des mathématiciens Hamilton et Félix Klein pour prolonger la théorie des ondes de matière de De Broglie.

Tout d'abord, Schrodinger considéra le cas particulier d'une onde harmonique de masse n-i, de quantité de mouvement p, de pulsation w, nombre d'onde k, et d'énergie E, qui est associée a une onde plane du type:

W (r, t) = W0ez(kr_u)t)

Puis, en utilisant les relations proposées par De Broglie (E = h w, p = h k on h est la constante de Dirac), on a

W (r, t) = Woe (pr-Et)

i

Il remarqua alors qu'en dérivant l'onde par rapport au temps, il vient :

@ at T (r' t)

-i h

EWoe

;^:t(p r-E h

ET (r, t)

De meme, le gradient de cette fonction d'onde donne :

i

VT (r, t) = pW (r, t)

Nous avons donc, pour toute onde W de cette forme, en tout point et a tout instant :

i h a0

t =

~i hVT = pT

Pour une particule donnée, d'apres la mécanique classique, l'énergie mécanique est donnée par :

E = E, E_p

1

=

2

m v² + V (r)

_p2

=2m #177; V (r)

Cette quantité apparait en fait plus naturellement dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique: la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique est appelée hamiltonien, qui s'identifie ici a l'énergie mécanique totale. En multipliant par la fonction d'onde, il vient que

_P2

2m

T+VT=ET

Enfin, en utilisant les résultats précédents, nous obtenons

(i hV)^2 2m

T+VT=ih @T @t

Donc on peut écrire l'équation de Schrodinger sous l'une ou l'autre des deux formulations suivantes :

Pour toute fonction d'onde W

_h2

2m

W (r, t) + V (r) W (r, t) = i _haW (r, t)

at

ou bien

HW = EW

on la quantité H est appelée "opérateur hamiltonien" ou plus souvent "hamiltonien".

Notre objectif est de donner quelques résultats mathématiques de base concernant l'équation de Schrodinger issue de la physique quantique et dont la solution est appelée fonction d'onde. Elle se présente donc sous la forme suivante :

iatu (t, x) + LIu (t, x) + f (t, x, u (t, x)) = 0, u = u(t, x) : I x R^N , R

La fonction d'onde u décrit ici l'état d'une particule quantique, atu est sa dérivée en temps, est l'opérateur de Laplace. Le terme f(u) modélise l'ensemble des influences
subies par la particule.

Rappelons tout d'abord que l'équation de Schrodinger est un postulat. Elle ne découle d'aucune démonstration formelle ni d'aucun axiome. Schrodinger a postulé cette équation pour représenter les états d'un système quantique. Elle a été confrontée à l'expérience et celle-ci a montré que, jusqu'à présent, on pouvait déduire toutes les données expérimentales de l'équation.

Les physiciens font aussi un autre postulat : la fonction d'onde d'un système, contient toute l'information que l'on peut connaitre du système. Il n'existe pas d'autre moyen d'aborder les propriétés de ce système.

Le mémoire est organisé de la manière suivante :

Le premier chapitre est réservé a quelques rappels d'analyse fonctionnelle et de calcul différentiel introduits pour faciliter la compréhension des sections ultérieures (Points critiques, multiplicateurs de Lagrange, fonctionnelles minorées, la symétrisation de Schwarz, les variétés différentielles).

Dans le chapitre 2, nous nous intéressons a la résolution de l'équation de Schrodinger linéaire. La propriété principale exposée est la dispersion. Celle-ci est caractérisée par le fait que si l'on n'impose aucune condition au bord, alors les solutions de l'équation ont tendance a s'étaler dans le temps. Pour formaliser cette assertion, nous considérons l'équation de Schrodinger linéaire

₈

<

:

au

at

-- iAu = 0 dans D'(I x Rⁿ) u0 = g

Grace a la transformation de Fourier, nous avons une forme explicite de la solution

1 ut (x) = Ne (47r ItI)^2

-iN 7isgn [F (ei x41: g)1 (2xt)

Alors ut(x) satisfait l'estimation de dispersion suivante

--N

lIutho ⁰ (RN) (47 ItI) ² lIglIL^l(R^N)

Pour l'équation de Schrodinger non-linéaire, nous étudions dans le dernier chapitre quelques aspects de l'équation stationnaire avec une non-linéarité compacte

iow +

Aw V (x)IwI^p-1 w = 0, w = w(t, x) : I x R^N --p R, N > 2 (NLS)

ot

On p > 1, V : R^N\101 --p R et I C R est un intervalle. A désigne le Laplacien par rapport a la variable d'espace x E R^N.

Nous faisons diverses hypotheses sur la puissance p et sur le coefficient V .

Pour assurer l'existence de solutions, nous supposons toujours que p est borné supérieurement par une quantité qui dépend de V .

On suppose de plus que V (x) --p 0 lorsque IxI --p oo, hypothese justifiant le vocable "non linéarité compacte".

Nous nous intéressons spécialement a l'existence et aux propriétés de solutions particulieres de (NLS) qui sont des ondes stationnaires. Celles-ci sont des fonctions de la forme cp(t, x) = e^iAtu(x), ou u définie sur R^N, est a valeurs réelles.

Le probleme de l'existence de solutions stationnaires pour l'équation (NLS) est ramené a celui de l'existence de solutions d'une équation elliptique semi-linéaire

u - Au + V (x) u ^p1 u = 0, u : J^N ! 1I, N ~ 2 (EA)

Ainsi nous prouvons l'existence pour tout A > 0 d'un état fondamental de (EA). Celui-ci est une solution faible qui minimise la fonctionnelle dont (E) est l'équation d'EulerLagrange, sur la variété de Nehari dans H¹ (IR^N). La méthode de minimisation sous contrainte que nous employons est due a Nehari.

Pour obtenir ce résultat d'existence en dimension N ~ 2, nous formulons des hypothèses assez fortes sur le coefficient V . Nous supposons que V 2 C2 (R^N\ {0}) est une fonction radiale telle que V (r) = V (x) > 0 est décroissante en r > 0 et qu'il existe k 2 (0, 2) tel que x ¹ V (x) est borné sur 1^N. En particulier, V tend vers zéro a l'infini. Nous supposons également que 1 < p < 1 + 42k

_N2 . Nous obtenons alors des solutions

positives, radiales et radialement décroissantes.

La suite du chapitre est consacrée a l'étude de certaines propriétés des états fondamentaux de (EA). Ces solutions sont radiales et nous ferons donc largement recours a des équations différentielles ordinaires. La section qui suit traite de la régularité des états fondamentaux, sous les mêmes hypothèses, le Théorème (3.2.2) résume ces propriétés. Dans l'autre section, nous supposons que V 2 C¹ (R^N\ {0}) et nous faisons de plus l'hypothèse (H4), qui stipule que rV ⁰(r)

V (r) < 0 est une fonction décroissante. Nous prouvons alors, grace au théorème de Yanagida [23], un résultat d'unicité des états fondamentaux de (EA), valable en dimension N ~ 3. La dernière section est consacrée a l'étude de la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (NLS).

Nous terminons notre travail par une conclusion générale.

CHAPITRE1
	Notions de base

Dans ce chapitre, nous avons compilé un certain nombre de définitions, notations, propositions, lemmes et énoncés de théorèmes qui sont utilisés à un moment ou un autre dans ce mémoire.

1.1 Résultats préliminaires

1.1.1 Inégalité de Holder

Soient un ouvert de R^N muni de la mesure de Lebesgue dx et 1 p +oc, on désigne par q l'exposant conjugué de p, c-à-d: p ¹⁺ _q 1= 1.

Proposition 1.1.1 (Im^~egalit^~e de Holder)

Soient f 2 L (~) et g 2 L (a), alors

₈

<>

>:

f.g 2 L¹ (~)

_f

f.g dx MfMLp(c) MgMLq(~)

~

Remarque 1.1.1 Il convient de retenir une conséquence trés utile de l'inégalité de Holder Soient fi, f2, ..., f, des fonctions telles que

1 = + p1

1 + ... + p2

1 < 1 pk

1

fi 2 L^pi (~) , 1 ~ i ~ k avec

p

Alors le produit f = f1f2...fk appartient a Lⁱ (~) et

MfMLp(c) ~ kf¹MLp¹(f) kf2MLp2(c) ... kfkMLpk(c)

En particulier si f 2 L^P (a) n L^q (Q) avec 1 < p < q < oo, alors f 2 LT (a) pour tout p < r < q et on a l'inégalité d'interpolation

1 0 --

I If (n) c I I I 11⁰Lp (n) II f II L¹4) " r = p 1 ~

q (0 < B < 1)