Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

3.3 Stabilité orbitale des ondes stationnaires

Nous étudions dans cette section la stabilité des ondes stationnaires pour l'équation de Schrodinger non linéaire

ow

i + Aw + V(x)1w1^P-1 w = 0, w = w(t,x) : I x R^N --> R, N > 2 (NLS)

ot

Définition 3.3.1 On dit que w est une solution de (NLS) s'il existe T E (0, oo[ tel que
w E C ((0, T), H1 ^(RN, R.)) n C¹ ((^0, T), H^-1 (R^N, R.))

et

i

ow

ot + Aw + V (x)1w1^P-1 w = 0 dans _H-1 (RN ,R) , Vt E (0, T) Oit H^-1 (R^N, R) designe l'espace dual de H¹ (R^N, R.).

La solution est dite globale en temps ou simplement globale si on peut prendre T = oo. Sinon, elle est dite locale en temps ou simplement locale.

Une onde stationnaire est une solution de (NLS) de la forme cp (t, x) = e^atu(x) avec A E R et u : R^N --> R. Si la variable t E I représente le temps, le parametre A est interprété physiquement comme une fréquence.

Une telle fonction est solution de (NLS) si et seulement si u E H¹ (R^N, R) est une solution de l'équation de Schrodinger stationnaire

Au -- Au + V (x)1u1^p-1 u = 0, u : R^N --> R, N > 2 (EA)

qui a été étudiée dans les sections précédentes. Nous avons vu qu'il convient en effet de chercher des solutions de (EA) dans l'espace de Sobolev H¹ (1[8^N,118) et, sous des hypotheses sur p et V , nous avons montré l'existence d'états fondamentaux _A de (EA), pour tout A > 0.

Définition 3.3.2 Soit uA une solution faible de (EA) . Une onde stationnaire de la forme cpA(t,x) = e^iAtuA(x) est dite orbitalement stable dans H¹ (R^N,R), si pour tout E > 0, il existe 8 > 0 tel que, pour toute solution w : (0, oo) x R^N --> R de (NLS) satisfaisant 11w (0, .) -- uA11H1(RN;R) < 8, on a

inf

oER

sup

t>0

11w (0, .) -- e^i°uAllip(RNR) < E

Remarque 3.3.1 Nous definissons l'orbite de w comme l'ensemble

O (w) = {ew : 0 ER} C H¹ (1[8^N, IR) , pour tout w E H¹ (RN, 1)

Une onde stationnaire cp),, d'orbite O (u),) est stable si toute solution w (t, .) de (NLS) avec condition initiale w (0, .) proche de O (u),) reste proche de O (u),) pour tout t > 0.

3.3.1 Le probleme de Cauchy

Dans cette dernière partie nous discuterons le problème de Cauchy associé a (NLS) et établissons des conditions sous lesquelles ce problème admet des solutions locales ou globales. Nous définissons également les fonctionnelles appelées énergie et charge qui, sous des hypothèses appropriées, sont des constantes du mouvement pour (NLS).

Nous considérons le problème de Cauchy suivant

8 < :

iat + w + g (w) = 0 (PC) w(0) = cp E H^1 (R^N)

On g E C (H¹, H^-1) est une non-linéarité donnée comme l'opérateur de superposition w ig (w) = V (x)1w1^p-1 w (voir définition (1.1.5)).

Nous définissons les deux fonctionnelles E et Q : H¹(11e) --> , appelées respectivement l'énergie et la charge, par

E (u) = 21 I RN

1Vu1^2 d x p 1 I + 1 RN

V (x)1u1^P+1 dx

et

Q (u) =.1

2 _RN

1u1² dx

On a Q E C² (H¹(118^N),11:0 et d'après le lemme (3.2.1), E E C² (H¹(118^N),118) .

Theoreme 3.3.1 (Voir [6])

Soit g E C (H¹(1^N), H^-1(1^N)) une non linearite de la forme g = gi+g2 E C (H¹(1^N), H^-1(1^N))

satisfaisant les hypotheses suivante

(1)gi (0) = 0 et il existe Gi E C¹ (H¹(118^N), IR) tel que Gi (0) = 0 et gi = G⁰ _i.

(2)Il existe ri, pi 2 [2, 2*] tels que, pour tout M > 0, il existe Ci (M) > 0 tel que

gi (u) --gi (v)1Lp0%(RN) < Ci (M)lu -- vILT%(RN)

pour tout u, v 2 H¹(118^N) satisfaisant

Mullip(RN)+11v61(RN) <_<M

Alors, pour tout cp 2 H¹(118^N), il existe T = T (cp) > 0 et une unique solution de (PC)

w 2 C ~[0, T) , H¹(I^N)) n C¹ ~[0, T) ,H^-1(1^N))

En outre, il ya conservation de la charge et de l'énergie

Q (w (t)) = Q (cp) et E (w (t)) = E (cp) pour tout t 2 [0, T)

(3)Si de plus, il existe 9 E 2 (0, 1) et une fonction rl 2 C ([0, E) , [0, oo)) , telle que rl (0) = 0, qui satisfont

G1 (u) + G2 (u) < 1 2 ^E Mull2Hi(RN) + ( 1u12L2(RN)) Pour tout u 2 H¹(118^N) tel quelluLi(RN) < E.

Alors il existe 8 > 0 tel que, pour tout cp 2 H¹(118^N) satisfaisant IpLi(RN) < 8, on peut poser T (cp) = 1 et on a, de plus

sup { 11w (t)1111-1(RN) : t > 0} < E

(4)S'il existe E 2 (0, 1) et une fonction rl 2 C ([0, oo) , [0, oo)) telle que rl (0) = 0, qui satisfont

2 2

G1 (u) + G2 (u) < 1 ₂ E 11u11Hi(RN) ( 1u1L2(RN))

--

Pour tout u 2 H¹(118^N). Alors on peut poser T (cp) = 1 pour tout cp 2 H¹(118^N).

Remarque 3.3.2 Le résultat (3) assure l'existence globale pour des conditions initiales suffisamment petites et (4) garantit l'existence globale pour toute condition initiale dans H¹(R^N).

Lemme 3.3.1 Sous les hypotheses (H0) et (H2) . Soit g (u) = V (x)IuI^P-1 u, alors il existe gi et g2 tels que g = gi + g2 et qui satisfont les hypotheses (1) et (2) du theoreme (3.3.1). La partie (3) du theoreme est vraie, si de plus 1 < p < 1 + 4-_N 2k, alors (4) est vraie.

Demonstration. Soient

g1 (u) = XB(o,1) (x) g (u) , Vu E H^l(1^N)

et

g2 (u) = [1 -- xj3(0,1)(x)] g (u) , Vu E H^l(1^N)

Comme g (u) = V (x)IuI^p~1 u, alors gi (0) = 0, pour i = 1, 2 Posons maintenant,

et	Gl (u) =	1 ^1p + 1 RN		1 (x) IxI^~k IuI^p+1dx, avec 1 (x) = XB(o,i)V (x) IxI^k
G2 (u) = p + 1 1 1 RN			2 (x)IxI^~k IuI^p+1 dx, avec 6 (x) = [1 -- xB(0,1) (x)] V (x)IxI^k

On a d'apres (3) du lemme (1.3.1) que Gi (u) E C²(H¹ (R^N) ,118) et ci (u) = gi (u) , d'on (1) est vérifiée.

Montrons (2) , Soient u, v E 1/¹ (R^N) satisfaisant

llullH1(RN) + llvllH1(RN) < M

Soit cp E Co (RN, R) . Pour la fonction gi, en utilisant les inégalités de Holder avec quatre exposants a, 0, ri, p1 > 1 tels que 1 + 1 ~ + r1 1 + 1 1 = 1,on a

1 N

[g (u) -- gl (v)]cp dx

~~~~~~

<1 RN

X.13(o,1) (x) I V (x)I IIur^-1 u -- dx

~~

et

Or -- = -- IvrI = f p It (u -- v) + vI^p~i (u -- v) dt ~

~ ~

0

IV (x)I < C IxI^~k d'apres l'hypothese (H2) :

Donc

I N

[g1 (u) -- g1 (v)] cp dx

~~~~~~

· C I B(0,1)

1x1^-k

~~~~~~

1 I 0

p It (u -- v) + vr^1 (u -- v) dt

~~~~~~

kpl dx

· C I Ixl^-k (1u1 + 1vj)^P-1 1u -- vIkpl dx

B(0,1)

<C

8 <> Z :> B(0,1)

Ixl^-ka dx

9 >= ;>

1 a <> I :> B(0,1)

(lul + 1v1)^(P-1)3 dx

9 >= ;>

1 0

1u -- v1L^ri(R^N) 1WILPI(RN)

)

< C1 11u1 + _I v I I0-L(p-1ip(RN ) 1u -- v1L^ri(R^N) 1WILP¹(R^N)

<

1u -- v1L^ri(R^N) 1WILM.(RN )

C1 _{(1u1L(p-i)0(RN)} + 1 v1L(p-1)/3 (RN))p-1

~ p1

? C2 kukH¹(R^N ) + kvkH¹(R^N ) 1u ~v1L^ri(R^N) 1(P1LP1(RN)

< C2 M^P-1 Iu -- v1L^rl(R^N) 1(PLPi(RN)

Si a, 0 > 1 verifiant N -- ka > 0 et (p -- 1)j 2 [1,2] ,

si N > 3. Ceci est vrai, si p < 1 + 42k

_N2 qui est verifier par l'hypothese (H2) .

Donc (2) est vrai pour g1.

De meme pour g2, en utilisant l'inegalite de Holder avec trois exposants a, T1, p1 > 1 tels que ^1a + _ri1 + pi1 = 1, et T1 = p1 = p+ 1, on a

I N

[g2 (u) -- g2 (v)] cp dx

~~~~~~

<f R^N

[^1-- XB(0,1) (x)] 1V (x)1 HuI^P-1 u -- jvj^P-1 v1 ki01 dx

C I R^N,B(0,1)

1x1^-k

~~~~~~

1 I 0

p It (u -- v) + vr^1 (u -- v) dt

~~~~~~

kpl dx

or lx1 > 1 sur IR.^N\B (0,1) implique Ixr^k < 1 sur IR.^N\B (0,1)

par consequent

I N

[g2 (u) -- g2 (v)] cp dx

~~~~~~

· C1 f R^N,B(0,1)

(lul + lvj)^P-1 lu-- vl kpldx

~ P ~1

? C2 kukH¹(R^N ) + kvkH¹(R^N ) 1u -- v1LP+¹(R^N) 1(P1I,P+¹(RN)
< C2 M^P-1 1u ~vIIP+¹(R^N) 1(P1LP+¹(RN)

D'on g2 satisfait l'hypothese (2) .

Pour (3) , soit a, > 0 tel que 1+ 1 ~= 1, on a

1 Gl (u)1 = P + 1		I N	1 (x) jxj^~klur^+1 dx					~~~~~~	< II ih,--(RN) I P+1 B(0,1)		Ixl^-k 14^9+1 dx
1 ~ <C IxI^-k« dx II B(0,1) }						8 <> I 17.1,1^(1)+43 dx :> B(0,1)				1 0 9 >= ;>
< ca	II B(0,1)			lul^(P+43 dx	9 >= ;>		1 0

avec 0 < C_a < 1 et N -- ka > 0, on va choisir a 2 (1, ^Nk) tel que 2 < + 1) Q < 2^* alors

1G1 (u)1 < C_a juj^(p+1)

L(p+1)~(RN ) , 2 H¹ (R^N)

de plus, on a pour N > 2, H¹ (R^N) c L^q (R^N) , Vq 2 [2, 2^*] avec injection continue. Dans notre cas, + 1) Q 2 [2, 2^*] implique H¹ (R^N) c L^(P+1)0 (R^N) avec injection

continue.

donc, 9 E 2 (0,1) tel que lul_L(p+1)0(_RN) < 1 pour u 2 H¹ (R^N) tel que Mull_EN_RN) < E. ainsi

1G1 (u)1 c CalUIL(p+1)0(RN) VU 2 H¹ (R^N) tel que Mull_ip(_RN) < ~ D'autre part, on a d'apres l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg que

₈

<

:

jujLr(RN) ~ C⁰juj^1~~

Lq(R^N ) 1⁷1^~Lp^*(R^N)

0 -

avec p< r< p*,1-- ^1-_*⁰ ,

N

p p P PN*

Or lul^°Lp* CIVu

(RN) Lp(R^N) -

Soit p^* = 2^*, p = 2 et r = (p + 1) 0, on a

U1L(P+¹)0(RN) C⁰juj^1~~

L²(R^N ) 1VUIL2(RN) ~ C⁰juj^1~~

L²(R^N ) kuk~ l(RN)

et

G1 (u)1 < Ca ^(C')2 1U1 ₎II II2r? ) ;

VU 2 H¹ (R^N) tel que MullHi(RN) < C

Par consequent, pour tout E > 0, il existe Cl (E) > 0 tel que

G1(u)I MullHi(RN) + Ci (~) juj2 L²(R^N ) , Vu 2 H1 (R^N) tel que MullHi(RN) < C

Comme p + 1 > 2, choisissant E > 0 plus petit, nous avons aussi que

Z G2 (U)^116 16° (RN) p + 1 R^N\B(0,1)		Ixr^k lur^+1 dx
<11616^0(R^N) P+ 1 j RN	lur^+1 dx

~ C1l'Ul_p²+1(RN) _;Vu 2 H¹ (R^N) tel que Mullip.(RN) < ~ De la meme maniere, on trouve l'existence de C2 (E) > 0 tel que

1G2 EMHi(RN) + C2 (E) jUj2L2(RN ) ; 8u 2 H¹ (R^N) tel que Mull_Hi(_RN) < E

D'on (3) est verifiee.

Pour (4) on va utiliser la meme methode que precedemment, avec 1 < p < 1 + 4-_N 2k : On va choisir ¹ 2 ( N k , 1 + N 2 P+2 1 ) dans ce cas + 1) ry < 2 avec ry = N (2 1 (2,#177;11),3)
et ¹ + 1 ~ = 1:

~

Nous obtenons alors pour tout u 2 H¹ (R^N)

1G1 (u)1 < Ca luIPL#177;p#177; (RN) < C_a (C^")^P+1 kuk^(p+1)~

H¹(R^N ) juj(p+1)(1~~)

L²(R^N )

Ainsi, bE > 0, 9C1 (E) > 0 telle que

1G1 < E 114H1(RN) + C1 (E) 1742(RN) Vu 2 H¹ (R^N)

OLl 2(1)(p+1)

2(p+1) > _0.

De meme, Vu 2 H¹ (W^N)

1G2 < C2 lUI^PL^#177;p-F^li(RN) C2 (Crl kuk(p+1)~1

H¹(R^N ) Iral(P2#177;(R11)-71)

On ryl = N (2 1 p+1 ₁) et (p + 1) ryl < 2. Donc, Ve > 0, 9C2 (6) > 0 telle que

1G2 EllrallH1(RAT) + C2 (E) 11/17,2(RN) Vu 2 H¹ (R^N)

Où 1 = 2(1-1)(p+1)

2-(p-l-l)y1 > 0.

D'oñ les hypotheses du point (4) sont vérifiées pour 1 < p < 1 + 4-2k

_N .

Donc on a montrer que les solutions de (PC) sont des solutions classiques c-à-d w C ([0, T) , H¹(1^')) n C¹ ([0, T) , H^-1(1^N)).

De plus on a une conservation de charge et d'énergie Q (w (t)) = Q (ço) et E (w (t)) = E (ço) pour tout t [0, T).

Enfin, les solutions sont orbitalement stables.