Conclusion
Dans ce travail, nous nous sommes intéressés a
la résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et non
linéaire. Pour l'équation linéaire, nous avons
utilisé les propriétés de la transformée de
Fourier. Pour l'équation non linéaire, nous avons traité
le cas stationnaire, ce qui nous a amené a la résolution d'une
équation semi-linéaire. Par la méthode de minimisation
avec contrainte sur la variété de Nehari, nous avons
montré l'existence d'états fondamentaux, nous avons obtenu des
solutions positives, radiales et radialement décroissantes. Certaines
propriétés des états fondamentaux ont été
aussi considérées a l'instar la stabilité orbitale. Il
existe de nombreuses notions de stabilité différentes,
dépendant des équations étudiées. L'idée
générale est que, plus le système admet de
symétrie, plus la notion de stabilité qui convient est faible.
Nous regrettons de ne pas avoir eu suffi samment de temps pour
faire le résultat de nondégénérescence des
solutions qui est un élément essentiel dans la théorie de
bifurcation et est un résultat de continuation globale. Cette
théorie établie l'existence dans RxH1 (RN) d'une branche de
solutions de (EA) de la forme
{(A,uA) : 0 < A < A0} C R x H1
(RN)
Bibliographie
[1]A.Ambrosetti and A.Malchiodi.
"Perturbation Methods and Semilinear Elliptic Problems on
RN", Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, (2006).
[2]R.A.Adams.
"Sobolev Spaces", Academic Press, New York, (1975).
[3]P.Begout.
"Necessary Conditions and Sufficient Conditions for Global
Existence in the Nonlinear Schrodinger Equation", Universite Pierre et Marie
Curie, France, (2000).
[4]A.D.Bouard et R.Fukuizumi.
"Stability of Standing Waves for Nonlinear Schrodinger Equations
with Inhomogeneous Nonlinearities", Ann. Henri Poincaré, (2005).
[5]H.Brézis
"Analyse fonctionnelle, théorie et applications",
Université Pierre et Marie Curie, (1999).
[6]T. Cazenave.
"Semilinear Schrodinger Equations", Courant Lecture Notes in
Mathematics, AMS (2003).
[7]W.Chen and Congming Li.
"Methods on Nonlinear Elliptic Equations", Birkhäuser,
(2008).
[8]P.Donato.
"Calcul Différentiel pour la Licence, Cours, Exercices et
Problèmes Résolus", Dunod, Paris, (2000).
[9]R.Fukuizumi.
"Stability of Standing Waves for Nonlinear Schrodinger Equations
with potentials", J. Math. Kyoto Univ, (2003).
[10]L. Jeanjean et S. Le Coz.
"An existence and stability result for standing waves of
nonlinear Schrodinger equations", Adv. Differential Equations 11, (2006).
[11]H. Hajaiej.
"On the Variational Approach to the Stability of Standing Waves
for the Nonlinear Schrodinger Equation", University of Virginia, (2004).
[12]K.Imamura.
"Stability and bifurcation of periodic travelling waves in a
derivative non-linear Schrodinger equation", Hiroshima Math, (2009).
[13]F.Genoud.
"Théorie de bifurcation et de stabilité pour une
équation de Schrodinger avec une non-linéarité compacte",
École Polytechnique Fédérale de Lausanne, (2008).
[14]F.Genoud and Charles A. Stuart.
"Schrodinger equations with a spatially decaying nonlinearity:
existence and stability of standing waves", École Polytechnique
Fédérale de Lausanne, (2007).
[15]J.Ginibre.
"Introduction aux équations de Schrodinger non
linéaires", Université de Paris-Sud, (1994).
[16]O.Kavian.
"Introduction a la théorie des points critiques et
applications aux problèmes elliptiques", Springer-Verlag, Paris,
(1986).
[17]H.Kikuchi.
"Existence and orbital stability of standing waves for nonlinear
Schrodinger equations via the variational method", Kyoto University, JAPAN,
(1995)
[18]T.Lachand-Robert.
"Equations aux dérivées partielles elliptiques
semi-linéaires, propriétés de monotonie,
réarrangement et ruptures de symétrie", Université de
Paris VI, (1993).
[19]J.L.Lions.
"Quelques méthodes de résolution des
problèmes aux limites non linéaires", Dunod Gauthier Villars,
(1969).
[20]F.Pham.
"Géométrie et calcul différentiel sur les
variétés, Cours, études et exercices", DUNOD, Paris,
(1999).
[21]J.M.Rakotoson.
"Réarrangement Relatif, Un instrument d'estimations dans
les problèmes aux limites", Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
(2008).
[22]M.Struwe.
"Variational Methods. Applications to Partial Differential
Equations and Hamiltonian Systems", Springer-Verlag, Switzerland, (2008).
[23]E.Yanagida.
"Uniqueness of positive radial solutions of LIu +g(r)u
+h(r)up = 0 in RN", Arch. Ration. Mech. Anal, (1991).
[24]E.Zeidler.
"Applied Functional Analysis, Applications to Mathematical
Physics", University of Leipzig, Germany, (1995).
[25]C.Zuily.
"Eléments de distributions et d'équations aux
dérivées partielles", Dunod, Paris, (2002).
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